Question

悠

等号が成り立つのは…のところはなぜそうなるんですか？

[改訂版スタンダード数学ⅡⅠI 問題69]
x>0であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
(x+16) (x + ¹) = 17+ x² + 16
2
217+2√ √7².16
x2.
16
等号が成り立つのはx=- のとき。
x²
=25
このとき x=16
x>0であるから
x=2
したがって, (x+16(x+1) は x=2のとき最小値 25 をとる。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

社会人数検準1級取得者

相加相乗平均とは2つの実数a＞0，b＞0があるとき
a＋b≧2√abが成り立ち等号が成り立つのは
a＝bとなる。
証明　左辺ー右辺≧0を示す
a＞0，b＞0のとき
a＝(√a)²，b＝(√b)²より
a＋bー2√ab＝(√a)²ー2√ab＋(√b)²
因数分解すると
(√aー√b)²≧0
が成り立つから
a＋bー2√ab≧0
等号は
(√aー√b)²＝0より　　√a＝√b
両辺を2乗すると　　a＝b
このことから等号成立はa＝bの時である。
17を除いて相加相乗平均を用いると
ⅹ²＋16／x²≧2√(ⅹ²・16／ⅹ²)＝2・√16＝8
これに17を加えると
ⅹ²＋16／ⅹ²＋17≧2√(ⅹ²・16／ⅹ²)＋17＝25
等号成立はa＝bの時であるから
a＝ⅹ²，b＝16／ⅹ²より
ⅹ²＝16／ⅹ²
b／a＝c／d(ただしa，b≠0)とすると
お互いの分母分子の積は等しいから
ac＝bdが成り立つから
x⁴＝16　ⅹ⁴ー16＝0
因数分解すると
(ⅹ²＋4)(ⅹ²ー4)＝0
(ⅹ²＋4)(ⅹ＋2)(ⅹー2)＝0
相加相乗平均の条件として
ⅹ²＞0，16／ⅹ²＞0を満たすxは正であるから
ⅹ＝2

　

社会人数検準1級取得者

疑問点があれば質問して下さい。

悠

証明までありがとうございます！
わかりやすかったです🙇‍♀️