転
転体の体積(2) A
放物線y=x²-2.x と直線y=-x+2 で囲まれた部分をx軸の周りに1回
転してできる立体の体積を求めよ。
OLUTIONR
CHART
回転体では図形を回転軸の一方に集結
回転体の体積
まず、放物線y=x²-2x と直線
V=
くよ
2x=-x+2 とすると, x2-x-2=0 からx=-1, 2
放物線y=x2-2x のx軸より下側の部分を,x軸に関して対称
に折り返すと右の図のようになり,題意の回転体の体積は,図の
赤い部分をx軸の周りに1回転すると得られる。このとき,折り
返してできる放物線 y=-x2+2x と直線y=-x+2 の交点の
x座標は, x2+2x=-x+2 を解いて x=1,2
よって
y=-x+2 をかくと〔図1] のようにな
る。ここで、放物線と直線で囲まれた
部分はx軸をまたいでおり,これを x
軸の周りに1回転してできる立体は、
[図2]の赤色または青色の部分をx軸
の周りに1回転してできる立体と同じ
ものになる。 基本例題238 と異なり,この場合は
[図1]
x軸の下側(または上側) の部分をx軸に関して対称に折り返した図形を合わせ
て考える必要があることに注意!
!
SHAR
v=xS_₂{(x+2)²-(x²-2x)²} dx + x^(-:
+7S²(-x²+2x)³dx
=
+π
541
=zS°,(-x*+4x-3x²-4x+4)dx+rf(x-2)dx
+ x²(x² −4x³+4x²) dx
=₁[
=x[_x³ + x²−x³−2x²+4x]°¸ + x[(x−2²]
x5
x²+.
8
15
7
19
π+
5
+
π
3
y y=x²-2x|
--3 4017 UTO
12
y=-x+2
π=
-1 0
100
15
+πS(-x+2)2dx
20
= T
3
201
基本 238
y y=x²-2x/
1-
y=-x+2
2
-1 0 1
U
²+2r
[図2]
0-6 Jel
・次の3つの図形に分け
て体積を計算する。
-------
+
ONS-T
113
