基本例題
22 とする。 定積分を利用して,次の不等式を証明せよ。
CHART O
SOLUTION
常には
335
218 定積分と不等式の証明(20①
定積分と不等式
数列の和 1/12+1/3+1/28+
2² 3²
FARAGO
1 1 1
+ + + + + + + + + < 2 - 1
・+ <2-
12
22
32
2
n²
n
不等式を証明する。
20
助けを借りる。すなわち, 曲線 y=-
x²
解答
自然数んに対して,
k≦x≦k+1 のとき
1
(k+1) ² x²
2
Ck+1
k
和をすか?
n-1
dx
k+1
(k+1)e <St+¹dx
でないから
+ ･･････+
k=1 (k+1)²
(+)
よって
両辺に1を加えて
2/1/2+1/2+1/12/2
3²
2²
42
1+1/2+3/1+
22 3²
1
ゆえに
2
(k+ 1)² <S*+¹ dx
Jk
この不等式でんを1からn-1まで加えると, n≧2のとき
n-1
n_1ck+1dx
+
x2
k=1(k+1)²
k=1Jk
*
n_1ck+1dx
endx
=== -----
ここで
"S*+¹ dx = S² x ² = [ - = - ] ₁ = ¹ - 1/1
2
2
n
x²
x」1
1
k=1k
ゆえに
+
x2
2
n
JUR
1
は簡単な式で表されない。 そこで, 定積分の
n²
+
n
<1-1/2
2
n² <2-
やは成り立つ。
2
(k+1) 2=x2
10
n
の下の面積と階段状の面積を比較して,
10
1
(k+1)2
[類 京都産大]
1
k²
yA
O k
0
:
|基本 217
inf 数学的帰納法でも証
明できる。
JURC=(0)
[+1 dx
1
(k+1)2
*S+S°++S"-f"
|y=1/12
k+1x
123
n
7章
24
助かりました！！