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[類 埼玉大]
基本199
演習 例題222 4次関数のグラフと2点で接する直線
関数y=x^(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
① 点 (t, f(t) における接線が, y=f(x)のグラフと点 (s, f(s)) で接する。
②
(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
点
y=f(x)のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=tの点で接するとして,
f(x)=mx+nが重解 s, tをもつ。→
*f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-t)^
解答
y=x(x-4)のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=t
(st) の点で接するとすると,次のxの恒等式が成り立つ。
x³(x−4)−(mx+n)=(x-s)²(x-t)²
(左辺)=x^-4x-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x-(s+t)x+st}
=x+(s+t)'x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x^-2(s+t)x3+{(s+t)^+2st}x2-2(s+t)stx+s2t2
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
-m=-2(s+t)st
①, 0=(s+t)^+2st
-n=s2t2
... (4)
st=-2
n=-4
②,
①から s+t=2
これと②から
③から
m=-8
④から
s, tはu²-2u-2=0の解で, これを解くと
u=1±√3
よって, y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+√3の点
で接する直線があり, その方程式は
y=-8x-4
下の別解は,指針の①の考
え方によるものである。
<s≠t を確認する。
別解 y′=4x3-12x2であるから, 点 (t, t(t-4)) における接線の方程式は
y—t³(t−4)=(4t³—12t²)(x-t) 5 y=(4t³-12t²)x-3t4 +8t³...... (*)
この直線がx=s (st) の点でy=x(x-4) のグラフと接するための条件は, 方程式
x-4x3=(4t3-12t2x-3 +8t tと異なる重解 s をもつことである。
これを変形して (x-t)^{x2+2(t-2)x+3t2-8t}=0
よって, x2+2(t-2)x+3t2-8t=0
Aの判別式をDとすると
Aが, t と異なる重解をもてばよい。
D=(t-2²-1(3t2-8t)=-2(t2−2t−2)
[演
練習
曲線C:y=x^-2x-3x2 と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
②222
曲
ける
針
CH
解
y'=3
おけ
すな
この
f(t)=
D=0 とするとピ2-2t-2=0
これを解くと
t=1±√3
このときAの重解はs=-(t-2)=1+√3(複号同順) よって, stである。
t=1±√3は2-2t-2=0 を満たし
4t3-12t2=4(t2−2t−2)(t-1)-8=-8
-3t^+8t=-(t2−2t−2)(3t2−2t+2)-4-4 ゆえに,(*) からy=-8x-4
ISS
f'(t)
f(t)
3次
の
曲
した
条件
検
3
O
