Question

まる

高3 数学 (2)の問題です。
赤い印をつけたところまでは理解できたのですが、それ以降が理解できません。
教えてくださる方いましたらよろしくお願いいたします。

*85
a,b,cが0以上の実数のとき,次の不等式を証明せよ。
(1) 2°+2°≦1+2a+b
(2) 2°+2°+2°≦2+2a+b+c

85 (1) (1+2+)-(2+2)+
=2(26-1)-(2-1)*
=(2-1)(2°-1)
a≥0, b≥0 5 2ª≥1, 2b≥1 +
よって
(2-1)(2-1)≧0
したがって 2+ 2°≤ 1 + 2a+b
(2)(1) で示した不等式を利用して-PS=
2ª+2b+2ª≤1+2a+b+2c8
≦1+1+2a+b+c++税
=2+2a+b+c
したがって 2+ 2° + 2c≤2 + 2a+b+c
参考 (1) 等号が成り立つのは,
2-1=0 または 2-1=0
(8)
すなわち a=0 または 6=0 のときである。
(2)等号が成り立つのは,
「α = 0 または b=0」かつ「a+b= 0 または
c=0」
すなわち, a, b, cのうち少なくとも2つが0
のときである。
J-100

Answer 1

暑

(1)の不等式の文字を
a→a+b,
b→c
と置き換えて再度適用しています。

実際に置き換えて書くと
2^(a+b)+2^c≦1+2^((a+b)+c)
となるので、確かに
1+2^(a+b)+2^c≦1+1+2^(a+b+c)
が成り立つことがわかります。

2^(a+b)+2^cという式が
2^a+2^bと同じ形の式であり、
指数部分がa→a+b, b→cに変わっただけの式であるというところがここでの重要な点です。