Question

かぐや✤

答えが違う理由を教えて下さい。

426
基 本 例題 122 1次不定方程式の整数解 (2)
次の方程式の整数解をすべて求めよ｡
(1) 3x-7y=1
CHARTO SOLUTION
1次不定方程式 ax+by=c の整数解
1組の解 (p, g) を見つけて a(x-p)+b(y-g)=0......
(1) 係数が小さいから, 1組の解が見つけやすい。
(2) 係数が大きいから, 1組の解が見つけにくい。 そこで,基本例題121 のように
3x-7y=1
x=5, y=2 は, ① の整数解の1つである。
よって
3-5-7-2=1
① ①② から 3(x-5)-7(y-2)=0
すなわち
3(x-5)=7(y-2)
3と7は互いに素であるから ③ より
(2) 22x+37y=2
① ax+by=1 の整数解 x=p, y = g を互除法を用いて求める。
a(cp)+b(cq)=c
② ap+bg=1 から, 両辺にcを掛けて
の手順で進める。最後の式とax+by=c から a(x-cp)+b(y-cg) = 0
したがって, ① のすべての整数解は
x-5=7k, y-23k (kは整数)
3
x=7k+5,y=3k+2 (kは整数)
22x+37y=2
p.423 基本事項 基本 21
(2)
x= -5, y=3 は, 22x+37y=1の整数解の1つである。
よって
22・(-5)+37・3=1
したがって, ① のすべての整数解は
両辺に2を掛けると 22・(-10)+37・6=2 ...... (2)
M ①-② から 22(x+10)+37(y-6)=0
すなわち
22(x+10)=-37(y-6)
22 37 は互いに素であるから, ③ より
x+10=37k, y-6-22k (kは整数)
よって
(3)
x=37k-10,y=-22k+6 (kは整数)
10000
Int. 22と37 に互除法を用いると
22=15・1+7→722-15・1,157・2+11=15-7･2
の断りは重要。
x-5が7の倍数となる
から x-5=7k
③に代入すると
3.7k=7(y-2)
1-15-7-2-15-(22-15-1)-2-22-(-2)+15.3
-22-(-2)+(37-22-1)-3-22-(-5)+37-3
PRACTICE･･･ 122 次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(2)
(1) 5x+7y=1
(2) 35x-29y=3
x=-5, y=3 の求め方
は、下のinf を参照
37=22・1+15→15=37-22・1,
の断りは重要。
ズーム
UP
基本例題 122-
現方法や, 1
1組の
基本例題
y=2を
例えば,
様に解く
例題の
y=3(k
x=7k
と同
「基本例
そのた
に方程
37=
22
m
●例な法整

(1) 3xc-7g=1
7= 3·2+1
3=1.2
7-17-3-2):2
1=7-3-2
2=-2
Y = (-1)
3(x+2)-7(y+1)=0
X+2 = 76
x=70-2
y+1=3k
y:30-1
x=5x6=2はどうやって求めますか。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

しゅわっちい

いや、主さんの答えでも大丈夫ですよー
X＝7K－2、Ｙ＝3K－1を
X＝7{(K－1)＋1}－2＝7(K－1)＋7－2＝7(K－1)＋5
Ｙ＝3{(K－1)＋1}－1＝3(K－1)＋3－1＝3(K－1)＋2
として、K－1をあたらしくKで置き換えれば
解答と同じになるはずです。

不定方程式の解は必ずしも形は同じになるとは限りません。最初に見つけた特殊解が違う場合があるからです。
ですがしっかり解ければ形は違えど同じ式に直せるのでわざわざ直さずとも今回の主さんの答えで十分OKです。