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定積分と導関数
基礎例題 186
次の関数をxで微分せよ。
(1) y=f(x+t)edt
CHARI
& GUIDE
定積分と導関数
IMEA (2) Ut
1500=2+1+²8=Quic
(1) 積分変数tに無関係なx を の前に出してから,両辺をxで微分する。
よって
(2) _y=²* cos²t dt
(2) 上端,下端ともにxの関数であるから、直ちに上の公式を適用してはいけない。
F'(t)=cos2t
1 cos2t の原始関数を F (t) とする。
... y=F(2x)—F(x) ____
d*f(t)dt = f(x) aは定数
dx Ja
■解答■
(1) S. (x+t)dt=xSoe'd Stedt であるから
2② 右辺の定積分を, F(t) を用いた形で表す。
③両辺をxで微分する。 F (2x)の微分に注意。
=(2x+1)e*-1
(2) cos't の原始関数を F(t) とすると
231=5025 に出す。
y=(x) fied+x(can Seal)+ axSoted fieldt の微分は、風の
Jo
導関数の公式を利用。
・2x
=S*e'dt+x•e*+xe*=[eª]* + 2x
+2xe*
costdt=F(2x)-F(x), F'(t)=cos2t
d 2x
y'= cos'tdt=2F'(2x) — F'(x)
dx Jx
=2cos22x-cos'x
=thiniat
d (g(x)
[参考]
f(t)dt=f(g(x))g'(x)f(h(x)) h'(x)
dx Jh(x)
証明 f(t) の原始関数をF(t) とすると F'(t)=f(t)
よって
EX 186③ 次の関数をxで微分せよ。
(1) y = sin2tdt
So
(g(x)
de Snc f(t)dt = d [F(x)]" x = d (F(g(x))-F(h(x))}
dx Jn(x)"
dx
dx
=F'(g(x))g'(x)-F'(h(x))h'(x)
=f(g(x)) g'(x)-f(h(x))h'(x)
←xは定数とみて,「の前
定積分の定義
IN HET
合成関数の導関数
定積分で表され
基礎例題
関数f(x)=
CHART&GUIDE
の公式である。
合成関数の導関数
CHART
&GUID
この式で g(x)=x,
h(x)=α(定数)の場合
が.上の
*x
(2) y=S codt (3) y=f*(x-t)sint
解答
1
f'(x)
f'(x)=0 と
0≤x≤x T
ここで
ゆえ
f(x
ya
