Question

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

これはなぜ連続といえるんですか？関数上ならどこでも連続なんですか？

41 [A] 次の定積分を求めよ.
2
(1) √₁²x²= 2x+2dx
[²√1+2√x dx
(2)
2)
[B](1) 関数y=√4-xのグラフの概形を描け.
(2) 定積分 / 4-xdx を求めよ.
Sxf (sinx)dx = m fo" f (sinx)dx
TC
2
第5章 積分法
*™
(2) a>1とする(1)を用いて、積分 ∫ x (a - 4 cos x) sin.x
a²-cos²x
(宮崎大)
[C] 定積分∫ (x(1-
{x(1-x)}dx を求めよ.
(弘前大)
[D](1) f(x) を区間 0 ≦x≦1 で定義された連続関数とする. 次の等式が成り立
つことを示せ.
( 横浜国立大 )
(奈良教育大)
-dx を求めよ.
(埼玉大)

[D] (1) x=tとおくと
対応は表のようになるから
(2)
したがって
[xf(sinx)dx=(x-
It
TC
dx=-dt, sinx=sin(-t)=sin t
=T
At
(n-t)f(sin t)(-1)dt
=T
(a²-4+4x²)x
f(x)=-
a²-1+x²
与えられた定積分IはI= "xf (sinx)dx である.C.f与式但したのは
そこで, (1)を用いて計算すると
I= f*xf(sin x)dx=ff(sinx)dx` (1)
(a²-4 cos²x) sinx dx
+
ここで, COSx=u とおくと - sinxdx = du であり、対応は
表のようになるから
= f*(x-t) ƒ (sint)dt * fondz= F(A) - F(a) = -(F(n)-F14)) - ^ 30x) ₂.
ff(sin t)dt-tf(sint)dt
f*f(sinx)dx- *xf(sin x)dx C.f. 5°
128
2 *xƒ(sin x)dx= f*ƒ(sin x)dx
:. [xf(sin x)dx=ff(sinx)dx
x(a²-4 cos²x) sinx __x{a²−4(1-sin²x)}sinx _xa²-4+45ixsix_
a²-cos²x
a²-(1-sin²x)
a-1 +sin³x
とおくと, a>1だから, f(x) は 0≦x≦1で連続であり,
2
-1 a²-4u²
1 = 1/² √ -¹ a ² = 4² (-1)du =
X 0
t
3a 1
1
=T
2 u-a
u + a)}du__
= π [tu + 3a /logh-al - loylu - all]!
T-
U
T
(-1)du=24²-du-=-26²
~~== f(-u) = f(n)
0
x 0 TL
1 →-1
"'4u²-4a²+³a"
-du
積分法
11
4- 27/ {(4 + ²x^²+ = a (u-a-at-afd
20
127

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

沢木陽織

tをある実数として、関数がx=tで連続であることの定義は、x→tでのf(x)の極限とf(t)の値が等しいことです。わかりやすく言うと、「極限と代入が同じ」になることを言います。
その関数の形だと、分母が0にならない限りはx→tの極限は普通に代入するのと同じように計算できますから、
a>1
→分母a^2-1+x^2が0にならない
→全てのtで(問題では0から1になっているが、その範囲に限らず)x→tにおけるf(x)の極限値とf(t)の値が等しい
→f(x)は常に連続
と言えます。

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

なるほど！腑に落ちました！恐ろしくわかりやすい説明ですね…ありがとうございます。