基本例題186 曲線の漸近線
曲線 (1) y= ((2) この間
解答
指針 前ページの参考事項①〜 ③ を参照。 次の3パターンに大別される。
① x軸に平行な漸近線 limy または limy が有限確定値かどうかに注目。
818
8118
② x軸に垂直な漸近線
③x軸に平行でも垂直でもない漸近線
x³
(1)y=x2-4
また
x2-4
=x+
(有限確定値)なら、 直線y=ax+6が漸近線。
(xx∞とした場合についても同様に調べる。)
(1) ② のタイプの漸近線は,分母=0 となるxに注目して判断。 また, 分母の次数>
分子の次数 となるように式を変形すると ③ のタイプの漸近線が見えてくる。
(2) 式の形に注目しても, ①, ② のタイプの漸近線はなさそう。 しかし, ③ のタイプの漸
近線が潜んでいることもあるから
lim y = ±∞,
x→2±0
lim_=lim(2+
x-x x x-00
4x
x2-4
練習
186]
lim (y-x)=lim
x418
y=2x+√x²-1 の漸近線の方程式を求めよ。
p.314 参考事項 ①~③
曲線 (1)
4x
x→±∞ x4
X→∞
定義域は, x²-4≠0から x≠±2漸近線(つまり極限)を調べ
やすくするために,
分母の次数> 分子の次数
の形に変形 (分数式では,
このような式変形が有効)。
(1) x2yA
3√3
limy = ±∞ (複号同順)
x-2±0
4
-=lim
√x²-1)=lim(2+√
lim(y-3x)=lim(√x²-1-x)=lim
x→±∞
以上から, 漸近線の方程式は x=±2,y=x
(2) 定義域は, x2-1≧0から
x-1, 1≦x
limy = ±∞ となる定数 』 の値はないから,x軸に垂直な漸
x→p
近線はない。
x
よって,直線y=3x は漸近線である。
y=
lim Y = lim (2+ (x²-1) lim (2-
x-18 X
X118
または → ∞ となるxの値に注目。
lim =α (有限確定値) lim(y-ax)=b
x-xx
lim (y-x)=lim(x+√x2-1)=lim
X18
2x2+3
x-1
漸近線を求める。
で示した極限を調べる方法で,
-lim(2+√1-1/2 =3から
(2-√1
4
x2
X-8
よって、直線y=xは漸近線である。
以上から漸近線の方程式は y=3x, y=x
-=0
-1
x2-1+x
-=0
1
x-xx-√√x²-1
=1 (*) から
=0
-2
-2/3 0
(
y=x
-1
12:
2
2√3
(*) x → 18 であるから,
x<0 として考えることに注
意する。つまりx2=-x
y
(2)
x=2
-3√3
+y=3x
10
-2
1
(2)y=x-√x2-9 の漸近線の方程式を求めよ。
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6章
2 関数のグラフ
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