次の
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重要 例題 3次方程式の作成
3次方程式x2x²-x+3=0の3つの解を α, β, rとするとき, a+β, B+r,
y+αを解とする3次方程式を1つ作れ。
「ゆえに
似た問題 方法をまねる
ように, 解と係数の関係 を利用することを考える。
2次方程式での類似の問題 (p.80 基本例題48) と同じ
a+β=A, β+y=B, y+α= C とすると, A, B, C を解とする 3次方程式は
(x-A)(x-B)(x-C)=0
3次方程式の解と係数の関係から
a+β+y=2, aB+By+ya=-1, aßy=-3
また
x³-(A+B+C)x²+(AB+BC+CA)x-ABC=0
すなわち
よって, A+B+C, AB+BC+CA, ABC の値を求めることを考える。
なお, p.74 重要例題42で考えたような, 解のおき換えも有効である(下の検討 参照)。
ここで, α+β+y=2 から
(a+β)+(B+y)+(y+α)=2(a+β+y)=2･2
= 4
①
a+β=2-y, β+y=2-α, y+α=2-β
よって (a+B)(B+y)+(B+y)(x+a)+(y+α)(a+b)
=(2-y) (2-a)+(2-a)(2-β)+(2-β) (2-y)
=4-2(y+α)+ya+4-2(α+β)+αβ+4-2(β+y)+By
=12-4(a+β+y)+ab+By+ya
(*)
=12-4・2-1=3
(a+B) (B+y)(y+α)=(2-y) (2-a) (2-B)
=8-4(a+β+y)+2(aβ+βy+ya)-aby
重要 66
=8-4・2+2・(-1)-(-3)=1
13
0~③から求める3次方程式は x³-4x²+3x-1=0
<x3-2x2-x+3
=(x-a)(x-B)(x-y)
=x³-(a+B+r)x²
+(aB+By+ra)x
- aBr
これを展開してもよいが,
計算がやや煩雑。
このへんけいせずに
|107
1x³-2x²-x+3
2章
=(x-a)(x-β)(x-y)
の両辺にx=2を代入して
もよい｡
11
高
次
とくセツるみるこ
解をおき換えて考える (解の変換)
解答の(*) より α+β=2-x, β+y=2-α, y+α=2-βであるから、上の例題は, 2-y, 2-α,
2-B を解とする3次方程式を求めることと同じである。 そこで, x=α, B,yに対して,
x=X とおくと, x=2-Xはx32x²-x+3=0 を満たすから
| X=2-y, 2-α, 2-β は, 等式 A を満たし, この等式 A が求める方程式である。 後は, X を x
(2X)-2(2-X)-(2-X)+3=0
におき換え 左辺を展開して整理すると, x34x2+3x-1=0が得られる。
方
+
I
