Question

ゆー

四角で囲った部分が何故そうなるのかが分からないので教えてほしいです！

396
重要 例題 238 逆関数と積分の等式
(1) f(x)= ex
ex+1
(2) (1) f(x),g(x) に対し, 次の等式が成り立つことを示せ。
Sof(x)dx+S7100g(x)dx=bf(b) -af(a)
解答
(1) y=
指針▷ (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。
(p.166 基本例題 95 参照。)
-nie (1)
(2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)
を利用。すなわち y=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により、左辺の第2
①から
②から
ex
ex+1
のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。 0
項Sa g(x)dx を変形することを考える。
f(a)
よって
(e*+1)y=e*
e²= 1²-y
求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log-
cf (b)
(2)=g(x)dxとする。
f(a)
①の値域は 0<y<1
練習
⑩ 238
って①
(2)
ゆえに (1-y)ex=y
よって
x=log
f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y)
ゆえに dx=f'(y) dy
また
xとyの対応は右のようになる。
g(f(a))=a, g(f(b))=6
y
I=
i=S® yf'(y)]dy=[wf(y)]* -S°ƒ(v)dy
a
=bf(b) -af (a)-Sof(x)dx
y
1-y
the
ゆえに Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af (a)
1-x
xf(a)→f(b)
a → b
[ 東北大]
p.390 基本事項 1 基本 95
まず, 値域を調べておく。
<xについて解く。
ARO13
ex=A⇔ x=logA
定義域は 0<x<1
YA
1
112
f(b).
f(a)
x=g(y)
0
2
a
T
S
b X
s=Sof(x)dx,
T=S6g(x)dx
f(a)
(2) の等式の左辺の積分は,
上の図のように表される。
( 0<a<bのとき)
ex
参考 (2) の結果は, f(x)=1
でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち
ex+1
f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。Boox "nias 2 3x0
aを正の定数とする。 任意の実数x に対して, x = atany を満たすy
π
( - 1 / < y < を対応させる関数を y=f(x) とするとき, f(x)dx を求めよ。
2
2
18
②1
Ⓒ1
3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

寒

形式的には、
逆関数の性質 y=g(x) ⇔ x=f(y)
から得られます。右の式を左の式に代入すると、
y=g(f(y))
となります。

ちなみに、左の式を右の式に代入すると、
x=f(g(x))
ですね。

イメージ的には、fの逆がgなので、aを関数fで変換した後に逆関数gで逆の変換をするとaに戻ります。gの後にfでも、もちろん元に戻ります。

ゆー

なるほど！ありがとうございます！