數學
高中

求解,謝謝

8. 若9x² + +4y²-6xy+15x+10y+25=0,求數對(x,y)。

解答

✨ 最佳解答 ✨

這題不錯。
觀察9x², 4y², –6xy
可以先寫出
(3x–2y)²=9x²+4y²–12xy,那麼
原式 = (3x–2y)²+6xy+15x+10y+25
= (3x–2y)²+2y(3x+5)+5(3x+5)
= (3x–2y)²+(3x+5)(2y+5)
= 0

因此有 (3x–2y)² = –(3x+5)(2y+5)
((3x+5)–(2y+5))² = –(3x+5)(2y+5)
(3x+5)²+(2y+5)² = (3x+5)(2y+5)

為了方便,令3x+5=X, 2y+5=Y
於是
X²+Y²=XY≥0,
可知X, Y是同號。
根據算幾不等式
X²+Y²≥2|XY|≥|XY|

若XY>0,那麼X²+Y²>XY
但是X²+Y²=XY,這樣兩個不等式就會矛盾。
因此XY=0,也就是說
X²+Y²=0
X²=0, Y²=0
3x+5=0, 2y+5=0

x=–5/3, y=–5/2為唯一解。

可知

補充說明
因為2|XY|≥|XY|是一定成立的,因為絕對值是正數或0。

那如果說XY>0
那麼2|XY|>|XY|成立,不會有等號
也就會推出X²+Y²≥2|XY|>XY
即X²+Y²>XY了。

可知

我打錯了,不是兩個不等式
是 X²+Y²=XY 與 X²+Y²>XY 兩式會矛盾。
(一個是等式,一個是不等式)

花茫

謝謝你,講的好詳細!

可知

不客氣!

留言
您的問題解決了嗎?