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高中

⑴のアとイで、展開式の第4項以降を解説のようにまとめれるのがなぜかわかりません
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利 重要 例題 6 (1) 次の数の下位5桁を求めよ。 (ア) 101100 n 桁の数の決定と二項定理 (イ) 99100 (2)2951900で割ったときの余りを求めよ。 解答 (1)(ア) 101100=(1+100)100=(1+102)100 指針 (1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり, また, それを要 求されてもいない。 そこで,次のように 二項定理を利用すると, 必要とされる下位 5 桁を求めることができる。 (ア)1011=(1+100)100=(1+102) 100 これを二項定理により展開し、 各項に含まれる 10"(nは自然数)に着目して、下位5桁に関係のある範囲を調べる。 (イ) 991%=(−1+100)100=(−1+102)100 として, (1) と同様に考える。 (2)(割られる数)=(割る数)×(商)+(余り)であるから 29 900で割ったときの 商を M,余りをrとすると、等式2=900M+(Mは整数,0≦y<900) が成り立つ。 2951=(30−1)であるから, 二項定理を利用して, (30-1)を 900M+rの形に変形 すればよい。 =1+100C1×102 +100C2 ×10+10° × N =1+10000+495×105 +10°×N(Nは自然数) この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いても変 わらない。 よって,下位5桁は 10001 (イ) 99100= (−1+100)'= (−1+102) 100 =1-100C×102+100Cz × 10 +10°×M =1-10000+49500000 +10° × M =49490001+10° × M (Mは自然数) この計算結果の下位5桁は, 第2項を除いても変わらない。 よって, 下位5桁は 90001 (2) 2951(30-151 = 3051-51C1×3050+ =302 (3049-51C1 ×3048+. 5149×302 + 51C50 ×30-1 ・・-51 C49) +51×30-1 =900(304-51C1 × 3048+・・・ - 51C49) +1529 =900(30-51C1 ×30%+・・・・・・51C49 +1)+629 ここで,3049-511×30+ 2951900で割った余りは 629 である。 0000 +1は整数であるから 51C49 [類 お茶の水大 ] 基本1 <展開式の第4項以下をまと めて表した。 10"×N (N, nは自然数, n≧5) の項は下位5桁の計 算では影響がない。 <展開式の第4項以下をまと めた。 なお,99100 は 100 桁 を超える非常に大きい自然 数である。 900=302 (-1)'は が奇数のとき -1 rが偶数のとき 1 1529=900+629 19
(1)(ア) 101100=(1+100)'=(1+102) 100 =1+100C1×102 +100C2 ×104 +10°×N PRA =1+10000+495×10+10 × N (Nは自然数) この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いても変 わらない。 練習 ④6 よって, 下位5桁は (イ) 991%=(−1+100)100=(−1+102)100 (2) 2951(30-1) 10001 =1-100C×102 +100C2 ×10+10°×M =1-10000+ 49500000 +10°×M =49490001+10° × M(Mは自然数) この計算結果の下位5桁は、第2項を除いても変わらない。 よって, 下位5桁は 90001 51 =3051-51C1×305+ ... - 51C49×302 +51C50×30-1 * =302 (3048-51C1 × 3048 +••••••-51C49) +51×30-1 合 =900(3048-51C1×304+-5149) +1529 =900(3049-51C1 ×3048 + ・・・・51C49+1)+629 ここで, 3048-51 C1 ×304+51C 49 +1は整数であるから、 2951 を 900で割った余りは 629 である。 (1) 1015 の百万の位の数 である。 (2) 2121 を 400で割ったときの余りを求めよ。
いろいろな式 二項定理 数学

解答

✨ 最佳解答 ✨

4項目以降、10の6乗、10の8乗、10の10乗、10の12乗…、10の100乗まで続きますが、10の6乗でくくることができます。
そして、残りの10の累乗、およびCは整数なので、Nでまとめて表せるというわけです

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解答

書いてあるとおりです

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