Question

さこ

青チャ数IIの例題125についてです。

x+y,xyをX,Yに置き換えて範囲を探している過程はわかるのですが、最後X,Yに関するその範囲を『x+y,xy』に戻さずまた『x,y』に置き換えている過程が理解できません。

どなたか分かりやすく教えてください🙏

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00000
重要 例題 125点 (x+y, xy) の動く領域
実数x,yがx2+y2 ≦1 を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の動く領域を
図示せよ。
指針 x+y=X, xy=Yとおいて,X,Yの関係式を導けばよい。
① 条件式x2+y≦1 を X, Y で表す。
→ x2+y²=(x+y)2-2xy を使うと
しかし、これだけでは誤り!
②2
x,yが実数として保証されるような X, Y の条件を求める。
X'-2Y ≦1
→ x,yは2次方程式2- (x+y) t+xy = 0 すなわち t'-Xt+Y=0の2つの解であ
るから, その実数条件として
判別式 D=X2-4Y ≧0
解答
X=x+y, Y=xy とおく。
x2+y≦1から (x+y)²-2xy≦1 すなわち X'-2Y≦1
したがって YZ4/2² - 11/2...
D=(-x)-4・1・Y=X2-4Y
また,x,yは2次方程式2- (x+y) t+xy=0 すなわち
t-Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす
ると
D≧0
ここで
よって, X2-4Y ≧0から
Y≤X.......
X²
① ① ② から
X² - 1 SY5X²
≤Y≤
2
2
4
変数をx, y におき換えて
x²
2²-12 syst
4
したがって, 求める領域は、 右の図の
斜線部分。 ただし, 境界線を含む。
変数のおき換え 範囲に注意
-√2
1
2
=x2²2²2
y=
x²
4
重要 123
2
√√2
2数α, βに対して
p=a+B,g=aß
とすると, α, βを解とする
2次方程式の1つは
x-px+q=0
XVI
基本
2012/01/2 とすると
x²
x²
4 te qaf
x=± √2
x,
(1)
(2)
指針
検討 実数条件(上の指針の②) が必要な理由
x+y=X, xy=Yが実数であったとしても,それが x+y≦1 を満たす虚数x,yに対応した
X,Yの値という可能性がある。例えば.x=1/2+1/12/i.y=1/12/12 のときx+y=1 (実数)

不等式の表す領域

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

沢木陽織

置き換えた理由は単純で、X,Yの式が出てきたけど、xy平面上の領域はx,yで書くのが普通だから置き換えたと言うだけです。
最初の式がxとyで表されているのが混乱の元かもしれません。「実数a,bがa^2+b^2≦1を満たしながら動く時の(a+b,ab)の動く領域」と同じ問題だと思ってください。要するに、最初の問題設定に出てくるx,yと、最後に置き換えるx,yは全く関係のない文字です。

さこ

なるほど。理解できました！
ありがとうございます！