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参考
事項
2
双曲線関数
p.254 の練習 149 (9) では、関数y=ex-e-x
extex
の3つを 双曲線関数といい, グラフはそれぞれ右下のようになる。
① sinhx=
34
3
coshx=
tanhx=
e*-e-*
2
(左辺)=
ette*
2
ex-e-*
extex
y=
t2+1
2t
るとx=cosht, y = sinht となる。
t2-1
2t
の導関数を求めた。 この関数を含めて、次
y=coshx
y=ex_ O
y=sinhx
(水)
双曲線関数の逆関数
y=
なお, sinhx をハイパボリック サイン
coshx をハイパボリックコサイン, tanhx をハイパボリック・タンジェントとよぶ。
高校数学において,これらの記号を直接使う場面はないが,双曲線関数を背景とした入
試問題はよく出題されるので,その性質を知っておくと便利である。一部を紹介しよう。
[1] cosh'x-sinhx=1
[2] tanhx=
[3] (sinhx)'=coshx
[4] (coshx)'=sinhx
sinhx
coshx
y=-e
cosh²x
(>y>1- I>x>I-)
それぞれ三角関数に似た関係式であることに注目したい。 例えば, [1] は次のようにし
て証明できる([2]~[5] もそれぞれ確認してみよう)。J1
THRO >x>I- #(x)\ (S)
[1] の証明
(e*+e^x)? (ex-e-x)^ _ ex+2+e-2-(e^x-2+e^2)=1=(右辺)せ。
4
4
4
_3+3 58=(x)\
1=3² 3=88) 3255
- $38²55
YA
A
[1] から,なぜ ①~③ が“双曲線関数”とよばれるかがわ
かるだろう。 なお, 三角関数は円関数ともよばれており,
円
COSx, sinx は単位円上の点の座標として定義されている。
一方, coshx, sinh x は, 直角双曲線上の点の座標として定大10
義されている。
また、基本例題 75では,双曲線x²-y2=1の媒介変数表
示x=-
AD ASIAN
YA
1
_^ ^ ^ = ( ^^ + (x)
を導いたが、このtをe とおき換え 八十0)\
10
[5] (tanhx)'=
y=tanhx
x
(cosht, sinht)
1C7
x
✓x-ye = 1
DESI VOH
est
p.262 の EXERCISES 119 (2) では,導関数を求める際に, 関数 y=log(x+√x2+1) か
ROSES
らx=
(=sinhy) を導いた。 このことから, y=log(x+√x+1) とy=sinh x は
2
逆関数の関係になっていることがわかる。
USPRES (1) TSI
ASD) CABA
