Question

ゆー

予習中なのですが、例題を参考にしても練習35が解けないので、教えてほしいです！

128
第4章 極限
C 三角関数の極限の応用
T B
応用 半径1の円0の周上に中心角0ラジア
A
例題
ンの弧 AB をとり,弧 ABを2等分す
D
to
9
る点をCとする。また, 線分 OC と弦
ABの交点をDとする。このとき,極
|A
ては,
5
5
CD
限 lim
0→+0 AB?
を求めよ。
が成
考え方> 線分の長さを0の関数で表す。
グラ
解答
ABIOD で,OD は ZAOB の二等分線であるから
とい
こと
0
ZAOD
2
0
AB=2AD=2sin
2
10
よって
CD= OC-OD =1-cos
2
mil)
1
10
したがって,求める極限は
ズ
1-cos
*2
0
I COs
2
1-
CD
lim
6→+0 AB?
lim
= lim
y
0?
2sin
2
0→+0
4sinO
2
0→+0
2
0
1-cos
2
= lim
41+cos
0
1-cos
2
0→+0
0
15
2
20p
mil
= lim
1
1
0→+0
0
41+cos
Inil
いら、①により
8
2
応用例題9において, 弧 ABの長さを AB で表すとき,
15
練習
35
CD
を求めよ。
AB
極限 lim
0→+0
2
20
x 803

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

LUX SIT

lim[θ->0]sinθ/θ=1をうまく利用しよう.
***
弧ABの長さはθ, CDの長さは半角公式から1-cos(θ/2)=2sin^2(θ/4)です.
したがってlim[θ->+0] CD/(弧AB)^2=lim[θ->+0] 2(sin(θ/4))^2/θ^2
=lim[θ->+0] {2(sin(θ/2))^2}/{4^2(θ/4)^2}=lim[θ->+0](1/8)((sin(θ/4))/(θ/4))^2=1/8.

ゆー

理解できました！ありがとうございます！