Question

morigo

極限は、限りなく近づくが決してその値(極限値)にはならないはずなのに、なんで0.999...=1なのがわからないです。これって、限りなく(無限に)1に近づけた結果1に等しいわけですから、なんだか極限の考えと矛盾してませんか？

Answer 1

零

0.999…の定義は、
a₁=0.9
a₂=0.99
a₃=0.999
…
というような数列aₙを考えたときに、
0.999… = lim aₙ (n→∞)
とするということです。
ですから、0.999…という無限小数そのものが極限を用いて定義されます。
nを限りなく大きくしたときに、aₙは限りなく1に近づきますから、
lim aₙ = 1 (n→∞)
となります。ここで、0.999… = lim aₙなので、
0.999… = 1
が成り立ちます。
極限の考えとは矛盾しません。というよりも極限の考え方そのものです。
極限の考え方を改めて記載すると、
nを限りなく大きくしたときにaₙがある実数αに限りなく近づくとき、
lim aₙ = α
と書く、というものです。