Question

あ

これの（a）って
a>1のとき
a
0<a<1のとき
1
でa＝1のときはどうやるんですか？
1^∞の不定形をどう解消するのですか？

次の極限を求めよ. ただし, a を正の実数とする。
東習問題 12
2?
(b) lim
C→0
C
2" -1
(c) lim
C→0
→0
tan c
1
(d) lim
(e) lim zloga
(f) lim
log(z +1)
エ 4c -
→4
T
2→+0
log r
C→0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ある

1は何乗しても 1ですよ〜
1^∞は不定形ではなく 1です。

よって、a=1のときはlim〔x→∞〕2^(1/x) ですから　
答えは 1ですね〜

あ

僕のテキストには1^∞は不定形って書いてあるのですが…

ある

？？？
その文面を見せてもらえますでしょうか？

あ

一応ですがこのテキストは東大数学科の人が作ってます

ある

なるほど、ありがとうございます。理解しました。
不定形について少し話します。

①lim[x→∞](1)^x
②lim[x→∞](1+1/x)^x

どちらも1^∞となる形ですよね
しかし、①は不定形ではなく、②は不定形です。
なので、①=1^∞と書けますが、②では②=1^∞のように等号は成立しません。

違いは、①②の式中で言うところの()の中身が「もともと1」なのか「極限を取ったら1」なのかです。「もともと 1」であれば、何乗しても 1ですから極限は1^∞=1となります。ただ、「極限を取ったら1」の場合は厳密には1ではないので、指数を上げるほど値は1よりも大きくなってしまいます。これが、②=1^∞といった等号が成り立たない理由です。

さて、問題に戻ります。
a=1のとき、lim[x→∞](1^x+1)^1/x

ここで、()の中身を見ると　lim[x→∞](1^x+1)=1^∞+1=2 ですから

lim[x→∞](2)^1/x = 1 となります。

ある

単に、1^∞は不定形ではありません

極限の世界において、(1に近づく値)^∞が不定形です。

あさんのテキストにも「1^∞は不定形である」とは書かれていません。
ただテキストの表現は、誤解を招く表現であると私は思いました。

あ

なるほど、そういうことだったんですね
わざわざありがとうございましたm(_ _)m