Physics
高中
已解決
(4)を力学的エネルギー保存則で解きたいのですが可能ですか？
けずらしてからはなす。このとき物体Pは単振動する。単振動は等速円運動のx軸上への正
A
標準問題
(2) 時
減
必解52. (2本のばねによる単振動)
図のように,なめらかな水平面上に質量 m の物体Pが同
じばね定数kをもった2つのばね A, B とばねが自然の長さ
にある状態でつながっている。水平面上右向きにx軸をとり,
A
ロ
B
rO00OP rOO
重
(3
射影の運動であるといえる。時刻 t=0 において, 物体Pはちょうど×座標の原点Oを正。
向きに向かって通過した。ばねの質量はないものとして, 次の問いに答えよ。
(1)任意の時刻tにおける物体Pの位置xおよび速度ひを,等速円連動の角速度ωを用いて
必解
表せ。
(2)任意の時刻tにおいて物体Pが位置xにあるときの加速度αを,oとxを用いて表せ、
また,2つのばねAとBから受ける力Fを,kとxを用いて表せ。
(3)物体Pが×=aに達してから, 初めて原点Oを通過するまでの時間 to と,初めて
-a を通過するまでの時間もを,kとmを用いて表せ。
x=
2°
(4)物体Pの運動エネルギーKの最大値とそのときの位置,およびばねの弾性力による物体
Pの位置エネルギーびの最大値とそのときの位置を表せ。ただし,ωやTを用いないこと。
(5) 物体Pが単振動しているときの速度»と位置xの関係を求め, vを縦軸に,xを横軸にと
ってグラフに示せ。このとき座標軸との交点を,a, kおよび mを用いて表せ。また、物
体Pが時間とともに図上をたどる向きを矢印で表せ。
【香川大 改)
し
ヒント
(1)単振動の変位と速度を表す式は,振幅をA, 初期位相をloとすると
(1) t=0 のとき原点を正の向きに通過 → このとき, 位置xは 0, 速度かは最大となる
(5) 力学的エネルギー保存則より, 「運動エネルギー K+ 弾性力による位置エネルギーU=一定」 となる。
ひ
x=Asin(ot+0。)
振幅はaであり, t=0 のとき x=0 であるから
ひ= Aocos(ot+0)
一※A 別解x-t図をかき,
関数を求めることもできる。
この運動のx-t図は
0=Asin。
よって sin=0
より
O=0
x4
これより x=asinot※A←
a
0=aw coswt※A←※B←
0
(2) 単振動する物体Pの加速度αは
の式を用いて整理すると α=le:t
また,物体Pの変位が×のとき,物体Pが受ける
力は図aより
F=-kx+(-kx)=-2kx※C←
t
Q=-aw'sin ot※B←
ーa
+sin 型となるので
x=asinot
3
kx
kx
-4M
同様に,v-t図は
V4
X
X
図a
aの
0
(3) の式と,単振動の周期の式「T=2π,
K
m
-」でK=2k だから,周期Tは
ーa0
2m
T=2V2k-"Vk
+cos 型で, vの最大値はc
であるのでひ=aωcosの
m
三π,
※B 別解 x=asinwt
単振動は円運動の正射影であるから,物体Pが x=a
に達してから初めて原点Oを通過するまでの時間 toは
60°
tで微分して
dx
dt
2m
=aw cosot
90°
to=
360°
V=-
.T=ア=チ
4
4V k
また,ひ=aocosot を tて
01 ax
図b24
分して
また,初めて x=aを通過するまでの時間もは
2
du
dt
lao'sinwt
ニー
Q=
|2m
1
6
60°
T
-T※D←=
t=
360°
一※C 合成ばねのばね
は2k となる。
T=
6V k
(4)単振動において物体の速さが最大になるのは,振動中心(x=0) である。
このときの物体Pの速さは, ②式より
*※D =T
リ=aw
-mゲーm(a)"=号ma(学)-me
2元
T
1
2k
-ma?….
m
2
1
い。
1
(aw)
2
って K最大=
1
= ka°
よ。
-mv?=
三
2
2
※E 別解 力学的エネ
ーが保存されているの
U最大=K最大=ka
また,振幅が最大である x=±a のとき,弾性力による位置エネルギーが最
大となる。よって U最大=2×→ka’=ka°
2※E←
解答
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わかりやすいです、ありがとうございました！