H
例題
次の和を求めよ。
S=1·1+2·3+3·3°+4·33+ +n-3"-1
273
(同志社大·改)
え各項の前の部分に着目すると
S=1·1+2·3+3·3+ 4·3°+ +n·37-1
1,
2,
3,
さらに,各項の後の部分に着目すると、
S=1·1 +23+3·3°+4·3°+ +n·37-1
4,
等差数列(初項1, 公差1)
n
夫エコ
1, 3,
37-1
一等比数列(初項1, 公比3)
つまり,一般項 an は, an=n·3"-1=(等差数列)×(等比数列)となる。
この形の数列の和は,公比r(ここでは3)を利用して, S-rS を計算するとよい。
解答
S=1·1+2·3+3·3°+4·3°+ +n·3"-1
両辺に3を掛けると,
1·3+2-3°+3-3°+ +(n-1)·3"-/+n·3%
両辺に公比の3を掛け
る。
3S=
の-2より, 徴の数
-2S=1·1+(2-1)·3+(3-2)·3°+(4-3)·3°+…+{n-(n-1)}-3*-1_n-3"
=1·1+1·3+1·3°+1·3°+ +1·3"-1-n·3"
=1+3+3°+3土 +8ー
n·3"
は初項1,公比3
の等比数列の初項から
第n項までの和_?
1
1
n 37
2
ミ
3-1
2
「ただし、
の第1項
3"
よって, S=--3"+
*37
4
1
-n·3"=(2n-1)+
目が等比数列の初項に
ならない場合もある。
4
4
4
