の方針で進める。また, 絶対値の性質(次ページの ①~①) を利用して証明
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O0
基本 例題29 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1) |a+b|sla|+l|
(3) la+b+clsldy
(2) la|-|b|sla++6|
基本28
指針>(1)例題 28 と同様に,(差の式)20は示しにくい。
1A°=A° を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
A20, B20のとき
A2B→ A2B'→ A°-B'20
(2), (3) (1) と似た形である。そこで, (1)の結果を利用することを考えるとよ
CHART 似た問題 [] 結果を利用
2 方法をまねる
解答
(1)(lal+||)ー1a+6パ=α+2|a||6|+68-(α°+2ab+6°)
=2(lab|-ab)20
イA=A°
の
ab|=la||
la+of<(la|+|b|)
la+b|20, lal+|6|20から
別解 一般に, 一lal<as_al, -|6|<b<|b| が成り立つ。
この不等式の辺々を加えて
よって
la+b|<lal+||
この確認を忘れた
A|24, |A2-
-14|SAS||
ー(lal+|b|)<a+6s\a|+|||
イ-BSASB
したがって
→A|SB
(2) (1)の不等式でaの代わりにa+6, bの代わりに-bと
イズーム UP参品
おくと
よって lal<la+6|+6|
別解 [1] Jal-l6|<0のとき
la+b|20 であるから, |al-16|<la+6|は成り立つ。
[2] Ja|-|6|20のとき
la+bf-(lal-|6|l)?=a°+2ab+ぴ-(α3-2|a||6|+6)
ゆえに lal-|6|ハ_a+bl
lal-l6<uslae
(2]の場合は
右辺は0以上でお
(右辺)-(左
す方針が使える。
=2(ab+\ab|)20
(lal-16|°<la+6P
よって
la|-|6|20, la+b20であるから
[1], [2] から
(3) (1)の不等式でbの代わりに6+cとおくと
la+(b+c)|<la|+16+c|
la|-|6|Sla+b|l
lal-|b|<a+b|
)の結果を削感
)の結果をもう」
16+c/sM+
小_a+16|+lcl
よって
la+b+c|<lal+|6|+1c|
不要友の運問
