重要 例題
)正八角形 A1A2…… As の頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。
2)(1)の三角形で, 正八角形と1辺あるいは2辺を共有する三角形の個数を求め
|A
よ。
3)正n角形 A1A2……Anの頂点を結んでできる三角形のうち, 正n角形と辺
を共有しない三角形の個数を求めよ。ただしn25とする。
[類法政大,麻布大)
T人
L7 (1) 三角形は,同じ直線上にない3点で1つできる(前ページの検討参照)。
(2)[1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形
→共有する辺の両端の点と,その辺の両隣の2点を除く点が頂点となる。
[2] 正八角形と2辺を共有する三角形→隣り合う2辺でできる。
(3) の (1),(2), (3) の問題 (1), (2) は (3) のヒント
(全体)-(正n角形と辺を共有する三角形)で計算。
さtiで
基本 24
1章
5
組
師を付け
人除 (8)
マ人も
せ
答
正八角形の8つの頂点から, 3つの頂点を選んで結べば, 1
の三角形ができるから, 求める個数は
8.7·6
A。
8Cg=
=56 (個)
3.2·1
] 正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対
し,それに対する頂点として, 8つの頂点のうち, 辺の両端
および両隣の2項頂点以外の頂点を選べるから, 求める個数
には
| 正八角形と2辺を共有する三角形は,隣り合う2辺で 頂点1つに三角形が1つ対
できる三角形であるから, 8個ある。
って,求める個数は
正n角形の頂点を結んでできる三角形は, 全部で,Cs 個あ
そのうち,正n角形と1辺だけを共有する三角形は (*) (三角形の総数)
=5のとき n(n-4) 個あり, 2辺を共有する三角形は n個 - (1辺だけを共有するもの)
うから,正n角形と辺を共有しない三角形の個数は -(2辺を共有するもの)
A。
A
A。
A。
A。
(8-4)·8=32 (個)
応する。
32+8=40 (個)
n(n-1)(n-2)
3.2-1
イ=(n-1)(n-2)
-6(n-4)-6}
,Cg-n(n-4)-n=
ーn(n-4)-n
_1
-n(n-4)(nー5) (個)
=n(n-9n+20)
6
円に内接するn角形F(n>4)の対角線の総数はア口本である。また, Fの頂
方?つからでキる三角形の総数は
|個,Fの頂点4つからできる四角形の総
