Question

しお

数学的帰納法の問題です！
｢②から｣以下の不等式の出し方がわかりません！
途中式も含めて解説していただけるとありがたいです🙇‍♂️

301 次の不等式が成り立つことを,数字的怖削広ndり、
L
1 nが自然数のとき 1°+2°+3°+ +n<
3
とき 3">5n+1

301 (1) 12+22+3°+·
+n?<(n+1)3
3
とする。
の
[1] n=1のとき
(左辺)= 1=1,
8
(右辺)=
3
三
3
よって, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき ① が成り立つ,すなわち
。3.4.
2
3
と仮定する。
n=k+1 のとき; ① の両辺の差を考えると,
2から
307
(k+2)3
3
05ナき5
3
2
3
3
L+96+。4€
3
-(k?+2k+1)
三
4
=Dk+>0 + S
3
ゆえに
3T
よって, n=k+1のときにも① は成り立つ。
1, [2] から,すべての自然数nについて① は
成り立つ。
レ-レ+リー

301
3
とする。
[1] n=1のとき
(左辺)=1°=1,
8
(右辺)=(1+1)3
3
よって, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
3
1+2°+3
2く
3
と仮定する。
n=k+1
-き
Jの両辺の差を考えると,
2から
307
(&+2)3
3
(&+2)?
3
3
3k°+9k+7
3
の=&+>0 so1+
ゆえに
3
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[11, [2] から,すべての自然数 n について① は
成り立つ。
レ+リー

数学的帰納法