Question

かしゅ

数IIの微分方程式の問題です。a≠0の時、2枚目の右ページに書いたグラフの場合はなぜ考慮されないのでしょうか…？
a＝0のところまでは理解できたのですが、この部分で躓いてしまったので教えていただきたいです…！よろしくお願いします。

2513)3次方程式 x°-3α°x+2a=0 が異なる2つの実数解をもつような定数aの値を
求めよ。
A
506

したがって,異なる実数解は1個となるから不適。
の図のように,y=f(x) のグラフがx軸と x=aの点で接し,
から,f(x)は2つの極値f(a), f(-a)をとる。
方程式f'(x) =0 は, 異なる2つの実数解 x= a, -a をもつ
1 よって,方程式 f(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつのは,下」
515(1) f(x) = ax° -6x° +8 とおくと
f(-a) = (-a)- 3a°(-a)+2a = 2a(a"+1)
これより,x20 における子(x) の最小値は 4
f(3) = -a-9 であるから, x20 において お K
f(x)>0 であるためには, -a-9>0 であ
o ればよい。
ゆえに a<-9
[別解] -5x°+3x-a>0より
ピ-5x+3x>a
f(x) = パ-5x°+3x とおくと
f(x) = 3xー10x+3= (3x-1)(x-3)
x20 の範囲のf(x) の増減表と y= f(x) のグラフは、次のよ
うになる。
のと
507 | |
13月4
aキ0のとき
ニa-9E
O1
(1-x)3e)
より aキ0 のとき f(-a) キ0
極値f(-a), f(a)の値
に着目する。
の
…0 お (
他の1点で交わる場合である。
a>0のとき
a<0のとき
人
→x
a
ーa
e
はち30 S a-
にお ト
小
1
10
3
0
3
2a
2a
はf(x)
0
0
極大
13
ーa O a
f(x) | 0
極小
-9
したがって,f(a) = 0 である。
目 F(a) = α°-3d*·a+ 2a=-2°+2a 0
よって,-2a°+ 2a = 0 より
a= +1
27
O
J
0 130 -
x20 のとき,不等式0が成り立つため
すなわち
-2a(a+1)(a-1) =0
には、y= f(x)のグラフの xN0 の部
27
分が,つねに直線 y=aの上側にあれば
0%
13
aキ0 より
514 F(x) = x°|x-3| とおくと,求める解の個数は, y= f(x) のグラ
フと直線 y=a との共有点の個数に一致する。
(i) x-3<0 すなわち x<3 のとき
3
十
よい。
S の大
間
ここで,x20 における f(x) の最小値は -9
y=a
絶対値の中の式の正負で
TC
場合分けする。
-9であるからa<-9
の
(x) = ーx(x-3) = -x+3x°
よって
f(x) = -3x°+6x = -3x(x-2)
(i) x-320すなわち x23 のとき
f(x) = x°(x-3) = °-3x°
512 f(x) = 2x°_3(a+1)ポ+6ax-2a とおくと
f(x) の増減表をかいて
0-
f(x) = 6x°-6(a+1)x+6a= 6(x-1)(x-a)
a>1 であるから, f(x) の増減表をかくと
考える。
(ロ-
X
1
a
500
f(x) +
0
0
0
0
よって
小島
さ t、
f"(x) = 3x°-6:x= 3x(x-2)
極大
f(x)/
a-1
極小
ノ
-d+3d°-2a
(i), (i)よりS(x)の増減表は次のようになる。
与えられた方程式が異なる3つの実数解を
もつ条件は
極大値>0 かつ 極小値く0
である。すなわち
極大値と極小値の正負を
考える。
『 計共の
x
0
2
3
国 0<x
| y=f(x)
F(x)
0
0
極小
極小
極大
0
a
0/1
「x
f(x)
0
4
[a-1>0
になる。
…D
よって,y= f(x)のグラフは,右の図の
ようになる。
ゆえに、異なる4個の実数解をもつaの値
の範囲は
大-+3a°- 2a<0
…2
O
a>1 であるから,① は満たされる。
2より a(a-1)(a-2)>0
a>1より,a> 0, a-1>0 であるから
時 (x 間 0S
y=a
0<a<4
23
よって
513 f(x) = °-3d'x+2a とおくと
f(x) = 3x*-3°= 3(x+a)(x-a).
a=0 のとき
f(x) = 3x° 20 となり,f(x) はつねに増加する。
2<a
a-2>0
0
ア(x) = 3ax-12x = 3x(ax-4) 521
4
は
x= 0,
a
S(x) = 0 の解が重解や
ドうかで場合分けする
『(x)= 0 とするろと、aキ0 であるから
183
197
の 起おと頼分 (数学日)
S
*に

微分方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

らい

まず解答にあるようにa≠0よりx=aでx軸と接することがわかります。

そして、今回の問題ではaの正負によって「グラフの概形」と「aと-aの大小関係」の二つが決定されます。

かしゅさんの考えたグラフではどちらもx=-aで接するグラフになってしまっていますので、今回は考える必要がありません。

かしゅ

なるほど！！分かりやすい解説のお陰で理解することができました！ご回答ありがとうございました🙇‍♀️