Question

ふみ

この問題を写真の通りに考えたのですが、示せそうにありません。なにが間違ってますか？

11
1
46. 1+
2
1
の評価とオイラー定数
3
n
1
1
nは自然数とし, S,=1+
とする。
2
3
n
(1) S,
*n 1
-dz は n の減少数列であることを示せ。
J1
I
(2) くS,- 1og n<1 (n=2, 3, …) であることを示せ、
2
(頻出問題)
応用例
p.53 の 144. で取り上げた
【Point】 S, はn の簡単な式では表されないので
S,の大体の値が問題になる.(2)によれば,
S,=logn+a, (0.5<a,<1)
(たとえば, Si-4.6+am)
である。これは右図によればすぐにわかる.つまり
S,=太枠部の面積+網目部の面積
1
1 1
1
T,=1-
2
3 4
2n
1
について考えてみよう。
1
1
1
T,=San-2
2
4
2n
=S2n- Sn
= log2n+C2n-(logn+C,)
= log2+C2n-Cn
(C,}は注で述べたように収束す
20
0
12 nn+1
11
dr+C, (C, は網目部の面積)

Ane Sn - St dx と#く、
antl ~ Qn <oをホせれはべ5。
Qntl
an
(Sml - f dox )
(Sn- l)
dx)
- te + e dx
ht
うこ
ha後分ること、
ht
ーh- nchtlこ ← (nt1)2
(htlPn
>o e ?
(ht1ドn 20
/S
1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Suya

∮[1→n+1]dx/x=log(n+1)
∮[1→n]dx/x=logn
だから
1/(n+1)− ∮[1→n+1]dx/x+ ∮[1→n]dx/x
=1/(n+1)−log(n+1)+logn
=1/(n+1)+log(n/(n+1))
=1/(n+1)+log(1/(1+1/n))
n→∞で
1/(n+1)+log(1/(1+1/n))→0

これと1/(n+1)− ∮[1→n+1]dx/x+ ∮[1→n]dx/xが単調に増加することを踏まえれば
a_(n+1)−a_n>0

でよさそうかな

ふみ

a_(n+1)−a_n>0
だと増加数列になりませんか？

Suya

あ、最後不等号逆ですね。
a_(n+1)−a_n<0

ふみ

理解できました！ありがとうございます!