Question

なたろー

この問題の3なのですが、なぜ‪α>1かつβ>1からポイント①の(3)のようになるのでしょうか？

32m 第2章 複素数と方程式
重要例題
13
解と係数の関係(3)
*25
の解の範囲
(2 異符号
) 2つとも負
3 2つとも1より大きい
ポイント0 2つの解を α, Bとし, 判別式をDとすると
*25
(1) a<0 かつ β<0 → D>0 かつ α+B<0かつ aB>0
→ uB<0
(2) αとBが異符号
(3) α>1 かつ B>1 → D>0 かつ (α-1)+(B-1)>0
かつ(α-1)(B-1)>0
3)

2次方程式
+bx+c=0の2
をa, Bとすると
コx+bx+c
=a(x-a)(xー)
42 2次方程式x-2mx+m+6=0が次のような異なる2つの解を
もつように,定数 m の値の範囲を定めよ。
(1) 2つとも負
(3) 2つとも1より大きい
>ave-()
(2)/異符号
解答 2次方程式x-2mx+m+6=0の2つの解を α, βとし, 判別式
かっこの前の5ををDとする。
ないように注意する 解と係数の関係から
α+β=2m, aB=m+6
ー=(-m)-1-(m+6)=m?-m-6
ス
また
=(m+2Xm-3)
(1) 異なる2つの負の解をもつための必要十分条件は
D>0 で, α+β<0かつ aβ>0
ta<0かつB<0
令a+8<0 かつ
ap>0
が成り立つことである。

18
サクシード数学I
D>0 より
(m+2(m-3)>0
よって
m<-2, 3<m
**ャャ*1)
α+B<0より 2m<0
よって
m<0
の
aB>0 より
m+6>0
43
よって
m>-6
の,2, 3 の共通範囲を求めて
-6
-2
0
3
-6<mく-2
(2)/2つの解が異符号であるための必要十分条件は
aB<0 すなわち m+6<0
たれを解いて
ともに1より大きい異なる2つの解をもつための必要十分条件は
D>0で,(α-1)+(β-1)>0 かつ(α-1Xβ-1)>0
が成り立つことである。
D>0より
(α-1)+(B-1)>0より
mく-6
ht方
t aン1かつβ>1
全(a-1)+(B-1)>(2)
かつ(a-1}B-1)>0
+ト
mく-2, 3<くm ………①
(α+8)-2>0
ゆえに
2m-2>0
よって
m>1
(α-1Xβ-1)>0より
ap-(α+8)+1>0
m+6-2m+1>0
ゆえに
-2
13 7
m
よって
m<7
の, 2, ③ の共通範囲を求めて 8-
3くm<7
[2 次関数のグラフを利用した解法
数学Iで学習した。
参考
f(x) = x?-2mx+m+6とする。
放物線 y=f(x) は下に凸で, 軸は直線 x=m
(1), (2), (3) の解をもつための必要十分条件は, それぞれ
(1) D>0, f(0) >0, 軸について m<0
(2) f(0) <0
0-8++80
(3) D>0, f(1) >0, 軸について m>1
これから,
(2) m<-6
(3) 3<m<7
が得られる。
0-0+税
f(0)
m
x0+1
m
0
0
F(0)
cれて
も解する
おいて, まず u, ひを求める。

数学 ii 解と係数の関係

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

季節感

α>1かつβ>1のとき、α-1>0かつβ-1>0になる。
これらを満たす条件として、(α-1)(β-1)>0ができる。
でも、この式はα-1<0かつβ-1<0のときも満たしてしまう。
じゃあ和も考えてしまえばいいんだと考えて
(α-1)+(β-1)>0

なたろー

‪なるほど！そういうことだったのですね！ありがとうございました！