四面体 ABCD において, AB=AC=3, ZBAC=90°, AD=2, BD=CD=/7 であり,辺BC
117 の中点を Mとする。このとき, BC= コ, DM=イ , ZDAM=ウ であり、四面体
EX
ABCD の体積は 口である。
[千葉工大)
A
A
AABC は AB=AC の直角二等辺
2-
3
三角形であるから
3
3
キ
BC=73/2
3
D
V7.
ADBC は BD=CD の二等辺三角
形であるから
B
M
P7
BC=/2 AB,
B
M
AM=BM=CM
DM=VBD?-BM°
3/2
D
=(7)-
(2
=10
2
M
C
△ABM は AM=BM の直角二等辺三角形であるから
3/2
マVBC|BC+viCV+viVB
ZAMB=90° から。
上の△ABCの図参照。
ロZB=45°,
AM=BM=
=12
2
AAMD において, 余弦定理により
AD+AM°-DM?
COS ZDAM=
2.AD·AM
22+
2
3/2
2
V10 \2
a
2
1
2
2-2.3/2
よって
ZDAM="45°
ここで
△ABC=
· AB·AC=
2
2
また
ADsinZDAM=2.
1
/2
2
の
D
よって
のVBCに
ABC·ADsinZDAM
(四面体 ABCD の体積)=→△
ロAABC を底面
ADsin/DAM を高さ
と考える。
3
1.9
3 2
Z=3/2
エ
2
別解(エ) BC上 DM, BCLAM であるから
から、DM. AMを含び
平面(AAMD) も BC
垂直。
BCIAAMD
BCIDM. BCLAM
また
△AMD=
2
. AM·ADsin ZDAM
1.3V2
3
·2.sin45°=
2
2
したがって
2
ありがとうございます！