内心について
AIは AD上にありますか？

回答をお待たせして申し訳ありません。

答えは、いいえです。
この図では、ADは直線ではありません。直線AIと直線IDに分かれています。
①AIは、I(内心)とA(三角形の頂点)を結んだ直線です。
②IDは、I(内心)から直線BCに垂直に引いた直線です。
①,②より、ADは直線ではありません。なので、AIはAD上にはありません。

＊注意〜AIがAD上にある場合の例〜＊
例えば、△ABCが正三角形の場合には、A、I、Dが一直線上にあります。

＊注意〜覚えておいてほしいこと〜＊
AIがAD上にある場合もありますが、AIは必ずしもAD上にあるわけではないです。

説明が長くなってしまい、申し訳ありません。ですが、読んでいただけると幸いです。
私も図だけ見ても、分かりづらくて苦労しました。