ユークリッドの互除法の利用
a=11, b=19 とおいて, [解] のように求めてもよい。
よって,(1)で求めた解を x3Dp、 yーq とすると、 x=5p, y-5q が(2) の解に
0) 11と19は互いに素である。まず, 等式 11.x+19y=1 のxの係数 Ⅱとyの
係数19に互除法法の計算を行う。 その際, 11<19 であるから、 11 を割る数。 19
次の等式を満たす整数x, yの組を1つ求めよ。
(2) xの係数とyの係数が (1)の等式と等しいから、 (1)を利用できる。
を割られる数として割り算の等式を作る。
例題
121 1次不定方程式の整数解 (11
425
(2) 11x+19y=5
077
11x+19y=1
ーズ
り.423 基本事項
- 本 L.9
lOLUTION
ART
1次不定方程式の整数解
12
スペー
が
1+299
2+69
+23
マと966 の
は23
(1)の等式の両辺を5倍すると
11(5x)+19(5y)=5
る。
なる。
2
1
667 ) 966
598 667
69 299
移項すると
移項すると
移項すると
移項すると 1=3-2-1
1=3-2-1=3-(8-3-2)-1
=8(-1)+3-3=8-(-1)+(1-8-1)-3
=11-3+8-(-4)==11·3+(19-11·1).(14)
=11·7+19·(-4)
11-7+19-(-4)=1
8=19-11·1
3=11-8-1
2=8-3-2
(1) 4=11, b-19
とする。
8=19-111-6-a
19=11·1+8
11=8·1+3
8=3-2+2
15
レ版
3-11-8-1
3=2-1+1
=a-(b-a)-2aー6
2=8-3-2
=(b-a)-(2a-b)-2
1
2
0323 )884
238 646
85 238
よって
そのまま
ここ。
=ー5a+36
B/I
ます
1=3-2-1
のの
の
=(2a-b)-(-5a+36)-1
=7a-4b
すなわち
ゆえに,求める整数x, yの組の1つは
能
など
すなわち
7
1
11-7+19-(-4)3D1)
よって、求める整数x, yの
組の1つは
x=7, y=-4
19 ) 2077
6 1829
248
0の両辺に5を掛けると
レッド対
11-(7-5)+19-((-4)·5}=5
11-35+19·(-20)=5
3
x=7, y=-4
すなわち
よって,求める整数 x, yの組の1つは
x=35, y=-20
(2)の整数解には x=-3, y=2 という簡単なものもあ
る。このような解が最初に発見できるなら, それを答と
してもよい。
ATICE … 121°
1 5-12-
2と変形し、
T0 19x+26y%=1
15(2) 19x+26y=-2
オークリッドの互継
Z
