Question

もみじ

相似を使って何をしているのかがわかりません

BC=18, CA==6 である直角三角形 ABC の斜辺 AB上に点Dをとり, Dか
ら辺 BC と CA にそれぞれ垂線 DE と DF を引く。 △ADF と△DBE の面
積の合計が最小となるときの線分 DE の長さとそのときの面積を求めよ。

CHART OSOLUTION
文章題の解法
大:最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
=xとおくと、, 相似な図形の性質から△ADF, ADBEは×の式で表される。
また。xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
解答
DE=x とし, △ADF と △DBEの面
A
積の合計をSとする。
D
F
0<DE=FC<AC であるから
(辺の長さ)>0
C
B
E
0<xく6
*xのとりうる値の範囲。
AF=6-x
AABCのAADF であり, △ABC: △ADF=6°:(6-x)?
●相似比が m: n
面積比は m°:n
合三角形の面積は
AABC=→18·6=54 であるから
2
(6-x).54=2
△ADF=
6°
(6-x)
x (底辺)×(高さ)
別解長方形 DECF の面積
をTとすると, Tが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x)から
同様に、△ABCSADBE であり, △ABC: △DBE=6°: x
ADBE=
6°
3
*54=D-
よって
AS
ゆえに,面積は
T=x-3(6-x)
54%
=-3(x-3)*+27
0<x<6 から、 x=3 でT
は最大値27 をとる。
よって, DE の長さが3の
とき, Sは最小値
S=△ADF+ADBE
(6-x)+x}
27
三
=3(x?-6x+18)
=3(x-3)?+27
0
3
6
6-18-27=27
2
よって, 0の範囲のxについて, Sは x=3 で最小値27をと
る。ゆえに, DE の長さが3のとき, 面積の最小値は 27 である。
をとる。