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例題102放物線の弦の中点の軌跡
OOOO0
リ=ms が放物線 y3x+1 と異なる2点P, Qで交わるとする。
0 mのとりうる値の範囲を求めよ。
12 線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。
[改星薬大)
基本 100
CEART OSOLUTION
条件を満たす点の軌跡
つなぎの文字 mを消去し, x, yだけの関係式を導く
(1) 異なる2点で交わる
ラりを消去したxの2次方程式が異なる2つの実数解をもつ → D>0
(2) 中点の座標を解と係数の関係を利用してmの式で表す。 この mを消去し
て軌跡の方程式を求める。 ただし, (1)の条件から軌跡の範囲を調べる。
3章
13
0, ソーズ+1
2とする。
リ ー , …
0, 2からッを消去すると
mz=z+1 すなわち xパーmz+1=0
3の判別式をDとすると D=(-m)-4=(m+2)(m-2)
重線のと放物線②が異なる2点で交わるための条件は
*直線のと放物線②が異
なる2点で交わるとき,
2次方程式3は異なる
2つの実数解をもつ。
D>0
したがって, 求めるmの値の範囲は m<-2, 2<m
2 2点P, Qのx座標をそれぞ
れa, Bとすると, u, Bは③の
異なる2つの実数解であるから,
解と係数の関係により α+B=m
したがって, 線分PQの中点M
の座標を(x, y) とすると
(a+B) m
2'
M
P
0
*点Mは直線の上の点。
ソーmx
2
上の2式から mを消去して
ソ=2x
より mく-1, 1<であるから
よって, 求める軌跡は
放物線 y=2x の x<-1, 1<x の部分
m=2x を④に代入し
て 2xく-2, 2<2x
よって xくー1, 1<x
と考えてもよい。
まる
放物線
