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例題102 放物線の弦の中点の軌跡
後リーmx が放物線 y3x+1と異なる2点P,Qで交わるとする。
0 mのとりうる値の範囲を求めよ。
12 総分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。
「改星業大)
基本 100
CEART OSOLUTION
条件を満たす点の軌跡
つなぎの文字 m を消去し, x, yだけの関係式を導く
(1) 異なる2点で与わる
ラッを消去したxの2次方程式が異なる2つの実教解をもつ → D>0
(2) 中点の座標を解と係数の関係を利用してmの式で表す。 この mを消去し
て軌跡の方程式を来める。 ただし, (1)の条件から軌跡の範囲を調べる。
答)
0, y=x"+1
② とする。
リソー0 …
0, 2からッを消去すると
mz=z+1 すなわち xパーmz+1=0
3の判別式をDとすると D=(-m)-43(m+2)(m-2)
直線のと放物線②が異なる2点で交わるための条件は
3
*直線のと放物線②が異
なる2点で交わるとき,
2次方程式3は異なる
2つの実数解をもつ。
D>0
の
したがって, 求めるmの値の範囲は m<-2, 2<m
2点P, Qのx座標をそれぞ
れの, Bとすると, a, Bは③の
異なる2つの実数解であるから,
解と係数の関係により α+B=m
したがって, 線分PQの中点M
の座標を(x, y) とすると
(a+B)
2
上の2式からmを消去して
M
P
O
『+ x
2
合点Mは直線の上の点。
m
2,リーm
ソ=2x?
m=2x をに代入し
て 2xく-2, 2<2x
よって xく-1, 1<x
と考えてもよい。
xく-1, 1<x
より く-1, 1<であるから
よって, 求める軌跡は
放物線 y=2x の x<-1, 1<x の部分
m
の直統をとする。放物線
