はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として,上の例題のように, 二項定理:
用いられることも多い。なお, 二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておくとよい。
OOO00
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基本 例題106 数列の極限(5) ·はさみうちの原理2
nはn23の整数とする。
6
n?
の値を求めよ。
2"
(2) lim
基本 105
→0
指針> (1) 2"=(1+1)"とみて, 二項定理 を用いる。
(2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題105同様,はさみうちの原材
る。(1)で示した不等式も利用。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
解答
(1) n23のとき
2"=(1+1)"=1+Ci+»Ca+……+ Cn-1+1
An=1, 2の場合も不等式は
成り立つ。
21+n+ラn(n-1)+n(カー1)(nー2)
-1が
42"21+,Ci+C2t,Cg
(等号成立は n=3のとき。
5
n+
6
よって 2">
n?
6
(2) (1)の結果から
0<
27
各辺の逆数をとる。
0-2
27
よって
n
各辺にn°(>0)を掛ける。
lim=0 であるから
lim
=0
n→o n
くはさみうちの原理。
0-4
検討)はさみうちの原理と二項定理-
x20のとき
(1+x)"21+nx,(1+x)"21+nx+→n(n-1)x°
練習
を正の整数とする。
n
106
(1)上の 検討の不等式(*)を用いて,(1+
2 \2
ことを示せ
