Question

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220(1)なのですが、解と係数の関係をなぜ使うのかと、PQの中点を(X,Y)とおいた後のXとYの求め方がわからないです。なぜX=(α+β)÷2をするのでしょうか？
どのようにして解くのか教えて欲しいです。

*219 m が実数全体を動くとき, 放物線 y=x°2_2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ
*220 真線 y=2.x+k が放物線 y=3x-x° と異なる2点P, Qで交わるとする。
定数んの値の範囲を求めよ。 また, 線分 PQの中点Mの座標をんで表せ。
(E) kの値が変化するとき, 線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。

220 (1) y=2x+k …… ①, y=3xーx?
2
とする。
0, 2 からyを消去して整理すると
x?-x+k=0
この2次方程式の判別式を Dとすると
D=(-1)?-4.1·k=1-4k
直線 の と放物線②が異なる2点 P, Qで交わ
るための必要十分条件は
D>0
すなわち
1-4k>0
よって,定数kの値の範囲は
4
2点P, Qのx座標を a, β (αキ8) とおくと,
a, Bは3の異なる2つの実数解である。
解と係数の関係から
α+8=1
線分 PQ の中点 M の座標を(X, Y) とおくと
α+β_1
X=-
2
Y=2X+k=k+1
6
したがって,点 M の座標は
2
(う,k+1
(2) 6 から
k=Y-1
に代入してY-1<
Y<
5
すなわち
4
.5
これと⑤から,点Mは, 直線 x=;のy<
4
の部分にある。
逆に,この図形上の任意の点は, 条件を満たす。
したがって, 点 M の軌跡は
1
のy<-
2
5
直線x=。
の部分
4

図形と方程式 軌跡と領域 軌跡と方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ぽん

P,Qのx座標はy＝2x+k,y＝3x−x^2の２つの交点です。
PとQのx座標の値はわからないのでα、βとします。
このときP(α,2α+k),Q(β,2β+k)と書けますね。

α、βは交点のx座標の値のこと、すなわち

2x+k＝3x−x^2 を満たす2つのxがαとβです。
中点についてはαβそれぞれ値を求めなくても解と係数で楽に計算できます。
PQの中点Mのx座標は((α+β)/2,α+β+k)となります。

例で言うと
(a,b)と(c,d)を結ぶ線分の中点は((a+b)/2,(c+d)/2)となります。　(a,b)がP、(c,d)がQだと考えてみてください。

🐈‍⬛

わかりやすく解説ありがとうございます！
助かりました！！