解答

✨ 最佳解答 ✨

(1)△ABDについて余弦定理から
BD²=2²+3²-2・2・3cosθ
⇔BD²=13-12cosθ

△BCDについて余弦定理から
BD²=1²+3²-2・1・3cos(180°-θ)
⇔BD²=10+6cosθ

以上から
13-12cosθ=10+6cosθ
⇔18cosθ=3
⇔cosθ=1/6

(2)sin²θ+cos²θ=1より
sin²θ=1-1/36
⇔sin²θ=35/36
⇔sinθ=√35/36 (∵0°<θ<90°)

よって
△ABD=1/2・2・3sinθ =√35/12
△BCD=1/2・1・3sin(180°-θ)=√35/24
∴求める面積は √35/12+√35/24=3√35/24=√35/8

(1)△AEFについて三平方の定理から
EF²=8²-(√10)²
⇔EF²=64-10
⇔EF²=54

△AEHについて三平方の定理から
EH²=10²-(√10)²
⇔EH²=100-10
⇔EH²=90

△EFHについて三平方の定理から
FH²=54+90
⇔FH²=144

△AFHについて余弦定理から∠FAH=θとすると
FH²=AF²+AH²-2・AF・AHcosθ
⇔144=64+100-160cosθ
⇔160cosθ=20
⇔cosθ=1/8

sin²θ=1-cos²θより
sin²θ=1-1/64
⇔sin²θ=63/64
⇔sinθ=3√7/8 (∵0°<θ<90°)

∴△AFH=1/2・8・10・sinθ
⇔△AFH=15√7

(2)△EFH=√54・√90・1/2
⇔△EFH=3√6・3√10・1/2
⇔△EFH=9√60・1/2
⇔△EFH=18√15

∴立体AーEFHの体積は
18√15・√10・1/3
=6√(5・3・5・2)
=30√6

以上より
15√7・EP・1/3=30√6
⇔5√7EP=30√6
⇔EP=6√6/√7
⇔EP=42√6/7

(1)直線AOと△BCDとの交点をH、BからCDに引いた垂線とCDとの交点をGとすると、HはBGを2:1に内分する点(重心)である。
BG=√3/2 より
BH=√3/2・2/3=√3/3

△ABHにおいて三平方の定理から
AH²=1²-(√3/3)²
⇔AH²=1-1/3
⇔AH²=2/3
⇔AH=√6/3 (∵AH>0)

よって立体AーBCDの体積は
1・(√3/2)・1/2・(√6/3)・(1/3)
=3√2/36
=√2/12

求める体積Vはこれの1/4なので、
V=√2/12・1/4
⇔V=√2/48

(2)√2/48=1・√3/2・1/2・r・1/3
⇔√2/48=√3r/12
⇔√2=4√3r
⇔r=√2/4√3
⇔r=√6/12

たんさんしゅがー

2問目の(2)の答えが3√42/7でした

たんさんしゅがー

あとなぜHは重心と分かるんですか?

アイス

すみません、正しくは△EFH=9√15です。これを直せばその答えになるはずです(あと最後の有理化間違えてました)。

アイス

△AHB,△AHC,△AHDは、(Hをそのようにとったので)すべて同合な直角三角形になります。合同であるので、BH=CH=DHとなり、この結果からHは△BCDの外心であることがわかります。そして、△BCDは正三角形であるため、△BCH≡△CDH≡△DBHになります。よって、Hは重心であると言えます。

たんさんしゅがー

無事全部解決しました
ありがとうございます!

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