Question

げスと

(2)です。両辺を２乗して、5+√6となっているところで、√6は問より無理数であるから矛盾する。というように持っていってはダメですかね？なぜ、a2となっているのでしょうか？

OOOO0
基本例題 42 背理法による証明
a, bは有理数で, bキ0 とする。 12 が無理数であることを用いて
a+b,2 が無理数であることを証明せよ。
2) v6 が無理数であることを用いて, V2+V3 が無理数であることを
明せよ。
74
ト基本 43,44
D.70 基本事項7
SOLUTION
CHART
証明の問題
与えられた仮定から直接結論へ導くことが困難なときは, 背理法が有効。
背理法で証明する手順
1 仮定はそのままにして (1)では, 「V2 が無理数である」)
結論を否定する(1) では, 「a+b/2 は無理数でない」 とする)。
図 計算や推論により, 矛盾を導く。
(1) /2 が有理数の和·差 積 商の形で表されてしまうという矛盾を導く。
なお、実数は有理数と無理数に分けられるから無理数であることを否定すると右
理数になる。
直接がだめなら間接で 背理法
解答
さ
『(1) a+b,2 が無理数でないと仮定すると, a+b/2 は有理
数である。a+b/2 =c(cは有理数)とおくと, bキ0 から
inf. 有理数の和 差·
積·商は常に有理数(か.3%
無理数の和·差 積 敵
無理数とは限らない。
例えば,
(2=2
_C-a
b
I a, b, c は有理数であるから,
C-a
b
も有理数となり,/2 が(1+/2)+(1-/2)=2
無理数であることに矛盾する。
ゆえに,a+b/2 は無理数である。
『(2)(2+/3 が無理数でないと仮定すると, 2 +V3 は有
理数である。2+3=a(aは有理数)とおいて, 両辺を
2乗すると 5+2,6=α°
3/2-/2 =3
など。
変形して6=-5
2
aは有理数であるから、-5
も有理数となり,6 が無理
2
数であることに矛盾する。
ゆえに,(2 +/3 は無理数である。
PRACTICE …42°、2+13 が無理数であることを証明せよ。 ただし, V2,
ともに無理数であることは知られているものとする。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

HS

この例題では
「√2,√3,√5,…とか
a+b√2, a+b√3, …とか
√2+√3, …とか
が無理数」
とは認めずに話をしなくてはならない
と読み取らなくてはなりません。

「○+△√6（○や△は有理数）は無理数」…①
はまだ示されていませんから、
これを当たり前とはしてはいけません。

(1)では「○+△√2（○や△は有理数）は無理数」
は示しましたが、だからといって
「同様に①が成り立つ」とするのは
(本問では)乱暴です。
(1)が(2)のヒントだとするなら、
(1)では直接①を示させるはずです。

げスと

たしかにそうですね。ありがとうございました。納得できました。

Answer 2

としさん

(1)で 有理数 + 無理数 が 無理数であることを証明しているので 5 + √6 は無理数。
　という説明を付ければ OK だと思います。

げスと

ありがとうございました