の容式
例題 180 指数方程式の解の個数(2]
xの方程式 4* +(a+1)2*+1 +a+7=0 が異なる2つの正の解をもつよう
な定数aの値の範囲を求めよ。
177)
《®Action 文字を置き換えたときは,その文字の範囲を考えよ 例題1の
t+2(a+1)t+a+7=0が
どのような解をもつか?
= 2* とおく
4*+ (a+1)2*+1+a+7=0 が
なる2つの正の解をもつ
対応を考える
1つのtの値に1つのxの値が対応
例題179 との違い… f(t)=aの形にすると, 式が複雑になることに注意。
開4*+(a+1)2**1 +a+7=0 …① とおく。2021
2* = t とおくと,x>0 より t>1 であり, ① は
ピ+2(a+1)t+a+7=0
ここで,t= 2*を満たすxは, t>1 であるtの値1つに
対して x>0 である xの値1つが存在する。
よって,xの方程式① が異なる2つの正の解をもつのは,
tの2次方程式②が1より大きい異なる2つの解をもつ
ときである。
f(t) = "+2(a+1)t+a+7 とおくと,
10 y=f(t) のグラフがt軸と t>1 の範
囲で2点で交わるのは, 次の [1]~ [3]
を満たすときである。
[1] f(t) = 0 の判別式を Dとすると
底を2にそろえ, 2" = t
とおく。
例題
…2
t=2*
x
ソーf(t)」 異
2次方程式の解と係数の
関係
IA
a+B=-2(a+1)
aB = a+7
を利用して
t
D>0
判別式 D>0
D
= (a+1)°- (a+7) = a°+a-6
4
(«-1)(8-1)>0
からaの値の範囲を求め
てもよい。
α+a-6>0 より
(a+3)(a-2) >0
よって
aく-3, 2<a
[2] y= f(t) の軸が t>1 の部分にある。
…3
S6 12を
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思考のプロセス|
