した
練習(1) nを自然数とするとき, (1+z)", (1-2)" をそれぞれ展開せよ。
019 (2) nは自然数とする。 f(z)=2nCiz+2月 Ca z+ +2n C2n-122nー1 とするとき, 方程式
kr
(k=0, 1, ……, n-1)と表されることを示せ。
f(z)=0 の解はz=±itan
2n
そ(a+b)"
(1) 二項定理により
(1+z)"= Co+2, Ciz+ 2»C22?+…+Cana n
(1-2)"=an Co-anCiz+znC2z'-… + Cam 2)
(2) O-のから
(1+z)"-(1-2)"=2(2nC1z+ 2m C3z°+………+2nC2n-122nー1)
=,Coa"+,Cia"-!b+…
…+Cra""b"+…
十,Cb
そ(1)の結果の式に、
f(2)の式が現れること
に注目。
0-2を計算すると,奇
数次の項のみが残る。
よって a)=-(1+2)"-(1-z)")
ゆえに,f(z)=0 は(1+z)"=(1-z)?m .
1+z
2n
…… 3と同値であり、
2n
2n
=1
のと
2=1 は3の解ではないから, ③ は( )
1-ス
そ1のN乗根は
同値である。
2kて
2k元
-+isin-
COS
N
kπ
(k=0, 1,……, 2n-1)
n
N
kT
+isin
n
1+z
のから
=COS
(k=0, 1, …
N-1)
1-2
kπ
kT
kT
N=COS-
n
k元
よって
+1+isin
-1+isin
n
COS
n
n
ここで
kn esin?
1-cos0
2
kr
-+1+isi
k元
-2cos?
k元
+i?sin
kr
-COS nm
2
COS
