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抵抗があるときは
QE=∫Rl^2dt+Q^2/2C
だし
ないときは
QE=Q^2/2C
ですよ
「QE≠Q^2/2Cとなり」はどういう考えでしょうか
返信遅くなりすみません。
回答ありがとうございます
最初に書いた通り、抵抗がないと
回路方程式は
E=Q/Cで
電池のした仕事＝QE
に代入するとQ^2/Cとなってしまい
Q^2/2Cにならないため、
≠と書きました。
回路方程式を代入してはいけないのでしょうか。
Eが時間ごとに変化すると考えれば良いのでしょうか
電池の電圧Eは多分定数だと思うのです（電池の電圧が変わるとは思えない）が、
そうするとQも定数になって変ですよね
教えてください、お願いします。
大真面目に考えてみました。
t=0で電源のスイッチを入れるとします。
Rがある場合は通常、t>0の回路方程式を解きますが、R=0のときはt=0で全ての現象が起きるのでt<0のばあいも考える必要があります。
途中でI(t)でてくるδ(t)は扱いが難しい関数です。t=0以外では0でt=0では∞、しかしt=-0からt=+0までの積分は1という、極限で定義された関数です。これにより、V(t)がt=0で不連続的に変化することが結果に現れて電源の仕事がQEではなくなるようです。
通常QEとなるのは、t=0でのI(t)がE/Rという有限の値をとるからで、このときはt=-0からt=+0でのV(t)I(t)の積分は0になって、V(t)のt=0での変化は結果に現れません。
このように、厳密な議論は数学的にやっかいなので、コンデンサーの充電回路には抵抗Rがついているのが普通です。(現実でもR=0はありえない)
ステップ関数を使うんですね！！
すごくスッキリしました。
R=0、抵抗なしの場合、
電圧がt=0になった瞬間にEになる、という性質を考慮しなければならなくなり、高校では習わない難しい関数を導入しなければならないということですね
電流がt=0で無限大になることについても
I=V/RでR→0のとき、I→∞ となることから
Rが0の時を拡張して考えたとも捉えられて
納得がいきました。
ということは
抵抗がないときは、電池のした仕事は
抵抗があるときと比べて、半分になるってことですよね
Qの電荷を運んだことには変わりないのに半分の仕事で済むというのは不思議なものです。
ご丁寧な説明、
本当にありがとうございます。
私が初めに示した回答はR≠0として計算した後にR→0の極限を考えた場合で、その場合はQEとなるのに、R=0として計算した場合はQE/2になるのは不思議ですね。物理ではこのようなことが稀にあるのですが、コンデンサーの充電でそれがあるのは知りませんでした。
t=0付近を拡大して考えると、V(t)が0からEまで増加中にも電荷を運んでいて、結果的には平均的にE/2の電圧でQを運ぶイメージでしょうか。
私も勉強になりました。
補足しておきます。