✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
b=(-5/2)a なので、{a} がVの基底となり次元は1です
どこら辺から説明するのがいいんでしょう⋯？
・ベクトルの一次独立
・生成されるベクトル空間
あたりは分かりますか？
分かりました( ・∇・)
この問題に必要な部分の説明ならそんなに大変でもないのでそこら辺も含めてこれから書きますね
確認も込めて定義周りから
ベクトル 𝒙₁, 𝒙₂, ⋯, 𝒙_n が一次従属とは
a₁𝒙₁＋a₂𝒙₂＋⋯＋a_n 𝒙_n＝0, (a₁, a₂, ⋯, a_n)≠(0, 0, ⋯,0)
を満たす実数 a₁, a₂, ⋯, a_n が存在することを言います。一次従属でないとき一次独立と言います
この問題の場合、例えば
5𝒂＋2𝒃＝0
なので 𝒂,𝒃 は一次従属です
ベクトル 𝒙₁, 𝒙₂, ⋯, 𝒙_n で生成されるベクトル空間とは
W＝{a₁𝒙₁＋a₂𝒙₂＋⋯＋a_n 𝒙_n | a₁, a₂, ⋯, a_n は実数}
で与えられる集合のことです。このWはつねにベクトル空間になります
この問題の場合、
V＝{s𝒂＋t𝒃 | s,t は実数}
となります
注意として、一般的にVを生成するベクトルの組は 𝒂,𝒃 だけではありません。別のベクトルの組 𝒄,𝒅,𝒆 を使って
V＝{s𝒄＋t𝒅＋u𝒆 | s,t,u は実数}
と表されたならVは 𝒄,𝒅,𝒆 によっても生成されるわけです
その上で、ベクトル 𝒙₁, 𝒙₂, ⋯, 𝒙_n がベクトル空間Wの基底とは
・𝒙₁, 𝒙₂, ⋯, 𝒙_n は一次独立
・𝒙₁, 𝒙₂, ⋯, 𝒙_n はWを生成する
の２つを満たすことをいいます
例えば 𝒂,𝒃 はVを生成していますが、一次従属なのでVの基底ではありません
Vを生成するベクトル 𝒂,𝒃 が既に与えられている場合、基底を求めるには 𝒂,𝒃 から余計なベクトルを取り除いていけばいいです。いま、
𝒃＝(-5/2)𝒂
ですから、
V＝{s𝒂＋t𝒃 | s,t は実数}
＝{s𝒂＋(-5t/2)𝒂 | s,t は実数}
＝{(s-5t/2)𝒂 | s,t は実数}
＝{s𝒂 | s は実数}
となりVは𝒂で生成されます。さらに、
s𝒂＝0, s≠0
を満たす実数sは存在しないので𝒂は一次独立です。したがって、𝒂はVの基底になります
dimVはVの基底をなすベクトルの組の要素数なので、1です
質問が2つあります。
1つ目は、この問題では5a+3b=0というのが直感的にわかり一次従属であることがわかるのかもしれませんが、この1枚目の写真のような問題ですと直感的に「この計算式だと0になる！」となりません。どのようにして、5a+3b=0のように考えられたのでしょうか。
2つ目は、2枚目の写真に赤矢印を入れましたが、その変形がどのように計算するとそうなるのかが、よく分かりませんでした。
よろしくお願いいたします。
成分の数やベクトル数が増えたら直感で判断するのは難しくなります。一次独立性の判定の方法はいくつかありそうですが、一つのやり方としては左から順にベクトルを増やしていきながら一次独立になるかを調べていく方法がありますね
まず、𝒂 のみなら一次独立
𝒂,𝒃 の一次独立性を調べます。このとき 𝒃=k𝒂 を満たすkがあるか判定すれば十分です。なぜなら
s𝒂+t𝒃=0, (s,t)≠(0,0)
を満たす実数 s,t があったとき、t=0 なら 𝒂 の一次独立性より s=0 となってしまうため t≠0 であり、このとき
𝒃＝-(s/t)𝒂
と表されるからです。𝒃=k𝒂 を実際に書き下すと
2=2k, -5=-k, -14=2k, -17=-5k
ですがこれを満たす実数kはないので 𝒂,𝒃 は一次独立です
次に 𝒂,𝒃,𝒄 の一次独立性を調べます。上と同様に 𝒄=s𝒂+t𝒃 を満たす s, t があるか判定すれば十分です。実際に書き下すと
-3=2s+2t, -1=-s-5t, -13=2s-14t, 0=-5s-17t
計算すると s=-17/8, t=5/8 が得られるので 𝒂,𝒃,𝒄 は一次従属です。なので 𝒄 は基底に加えず 𝒂,𝒃,𝒅 の一次独立性を調べます
計算すると、𝒂,𝒃,𝒅 は一次従属だと分かるので結局 𝒂,𝒃 が基底になることがわかりました
赤矢印の変形は要素についてのイコールではなく集合全体として等しいことを確認しています。つまり
A＝{(s-5t/2)𝒂 | s,t は実数}
B＝{k𝒂 | k は実数}
として A=B だと述べています(sがかぶるとややこしいかもしれないのでBの中はkに変えました)
A=B であることは、A⊂B かつ A⊃B であること、すなわち
x∈A⇒x∈B かつ x∈B⇒x∈A
を確認すればいいです
x∈A のとき、xは x=(s-5t/2)𝒂 と表されますから、k=s-5t/2 とおけばkは実数で
x=k𝒂∈B
x∈B のとき、xは x=k𝒂 と表されますから、s=k, t=0 とおけば
x=(s-5×0/2)𝒂∈A
これより A=B が言えます
ありがとうございます。
申し訳ないのですが、この問題自体触れるのが初めてなので初歩的なところも理解できていない状態です。
なので、細かめに解説をお願いできますでしょうか？
よろしくお願いします。