Question

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（1）の解説をお願いします🙏

間2.4. 次の一般項 。 を持つ数列 {z。} の極限を求めよ. また, 極限の定義22 (cy

論法) に基づいて, 得られた DSO
(Q①) 6 = sm(言).      (2) g。 = cos(⑤).      (3) 0ご1 2 NRN
の=難

4             1
ただし, > 1.

 
  

N

微分積分 極限 三角関数 ε-n論法

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

き

lim[n→∞]sin(1/n^2)=0 です。
これを示します。

まず次の2つの事実を使います。
・x≧0 ⇒ sinx≦x
(証明は差をとって微分などを考えればよいです)
・[x]≦x<[x]+1
([・]はガウス記号、証明は定義より明らかです)

証明
εを任意に固定する。
このときN=[(1/ε)^(1/3)]+1とすると、n≧Nのとき
|sin(1/n^3)-0|=|sin(1/n^3)|
≦1/n^3
≦1/N^3=1/([(1/ε)^(1/3)]+1)^3
<1/{(1/ε)^(1/3)}^3=1/(1/ε)=ε (証明終)

き

訂正：「ε>0を任意に固定する」としておいてください。