無理関数のグラフについての質問です。とても長くなってしまうのですが、もし良ければ読んでいただけるととても嬉しいです。🙇🏻‍♀️

Question

y=√xのグラフを書く時、二乗したものを書く、というのがとても気持ち悪くて色々と考えていました。

まず画像一枚目では、y²=xのグラフを書く、という方から攻め入ってy=√xを最終的に得られる、と考えれば分かりやすいな、というのを学びました。

次に画像２枚目では、実数関数でも、グラフが書けない設定で二乗して書いてやろうと思いまして、
y=x+1のグラフについて考えました。

そして書いていくと、開始3行目で早くも定義域と値域がついてしまい、y=x+1のグラフはかけませんでした。

ここで、どうしてy=x+1のグラフだと、二乗するっていう行程を挟むと正しく書けなくなってしまうのでしょうか？？😭

拙い文をここまで読んでくださってありがとうございました。
よろしくお願い致します。

mrsn · Accepted Answer

長くなってしまいましたがまとめましたので読んでみてください。他の方の返信にもありましたが、疑問点いろいろは同値から由来していると思います。

わかりにくいところがあれば聞いてください！

ピタゴラス · Answer

単純に同値関係を満たせていないと言うだけです。
y=x+1
⇔ y²=(x+1)²   ( x+1≧0 かつ y≧0 
                         または x+1<0 かつ y<0)
⇔ |y|=|x+1|    (同上)
⇔  y=x+1  (x+1≧0 かつ y≧0)  
    または  
    −y= −(x+1)  (x+1<0 かつ y<0)
⇔ y=x+1

しかし、残念ながら結局グラフが書けないと仮定したグラフに帰着されてしまったので進展がありませんでしたね。

要は1枚目の本質は
y=f(x)  みたいなものを
x=g(y)  的な表示に直しても同じグラフ(逆関数のときの考え方)になるてことなので、2枚目の場合は

y=x+1
⇔ x=y−1   とすれば意味合いとして1枚目と同じになります。つまり２乗しても等しくなるのはy=√x
みたいな時だけということですね。😀

バンダースナッチ · Answer

まあ、背景としてf(x)=x²の定義域を非負実数に限れば、その逆関数がちょうど1/2乗したものに等しいから、という割とメタメタな状況だったので、｢じゃあ両辺2乗しちゃえ！｣みたいなノリで出来たんですよね。2乗しても情報が変わらないから脳死しててもできた、というのが実際のところなんです

実際にはどんな場合でもできるのですが、場合分けにコツが必要なんですね。この場合はy軸で負の方にもグラフが必要ですからy=-(x+1)に頼らねばならないのです。じゃあどんな時かと言われれば、x≦-1の時ですね。質問者さんの出したx≧-1の時のグラフに、y=-(x+1)のグラフを組み合わせれば、欲しいグラフが手に入るわけです。でもこんなこと手間でしょう？