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合同式は、ざっくり言えば割り算の余りだけに注目して計算しましょう、という考え方です。
整数nを整数aで割った時の商をp、余りをqとすると、
n＝ap+q と記述できます。これを合同式で表すと
n≡q (mod a) となります（pが消えてしまいましたね）
しかし、pが消えてしまっても、元が割り算であるということは変わらないので
それも手掛かりに計算していきます。
（つまり、あなたが教科書に記載していることは何も間違っていない）
提示の問題を例とすると、
nを5で割った時、商は不明、余りが3ということなので、
n＝5p+3 と表せます（不明な商をpとする）合同式では、
n≡3 (mod 5)
さて、n⁴ について考えると
n⁴ = (5p+3)⁴ ＝sp⁴＋tp³3＋up²3²＋vp3³＋3⁴ と展開でき、さらにq⁴以外をpで括ると(s,t,u,vは、各項の係数、計算が面倒なの省略)
= (sp³＋tp²3＋up3²＋v3³)p ＋3⁴ となります。
これを合同式で表すと
n⁴≡3⁴ (mod 5) になりますよね。
つまり、最初から合同式を、両辺4乗したものと同じになりました。
従って
n⁴≡3⁴≡81≡1 (mod 5) になります。
いかがでしょう？
ご丁寧にありがとうございます!!!
なんとなく理解出来た気がします！