①Vの次元を求める
V＝{a(1-x²)+b(x-x³)+cx⁴}
なのでVは u=1-x², v=x-x³, w=x⁴ で生成され、この３つのベクはそれぞれ二次式、三次式、四次式なので一次独立であることがすぐにわかります
よって dimV=3
② f=1+x-x²-x³, g=1-x²+x⁴, h=x-x³+x⁴ が全てVのベクトルであるかを調べる
f＝(1-x²)+(x-x³)＝u+v
g＝(1-x²)+x⁴＝u+w
h＝(x-x³)+x⁴＝v+w
なので全てVのベクトルになっています
③f, g, hが一次独立であるか調べる
Vの基底を u,v,w に取ったとき、u,v,w を f,g,h に移す写像V→Vは行列
⎛ 1 1 0 ⎞
⎜ 1 0 1 ⎟
⎝ 0 1 1 ⎠
で表され、行列式を計算すると-2(≠0)になることから f,g,h は一次独立です
定義通り
af+bg+ch=0⇒a=b=c=0
が成り立つかを調べてもいいです
以上より、f,g,h はVの基底になります
いえいえ
ありがとうございます