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まず、円の式の表し方としては、
(x-a)^2+(x-b)^2=r^2とx^2+y^2+lx+my+n=0の2パターンがあります。3点を通る円の方程式を求める場合、どちらを使っても解くことはできますが、後者を使った方が計算が楽になります。よって、そちらを使います。
(1,3),(5,-5),(4,2)をそれぞれ代入すると、
1+9+l+3m+n=0,25+25+5l-5m+n=0,16+4+4l+2m+n=0です。それぞれ整理すると、
l+3m+n=-10…①,5l-5m+n=-50…②,4l+2m+n=-20…③となります。後はこの連立3元一次方程式を解くだけです。
②-①より4l-8m-40⇔l-2m=-10…④
③-①より3l-m=-10…⑤
⑤×2-④より5l=-10⇔l=-2.よってm=4,n=-20
よって、答えはx^2+y^2-2x+4y-20=0
なお、この式を(x-a)^2+(x-b)^2=r^2の形で表すなら、平方完成をして、(x-1)^2+(y+2)^2=25となります。どちらの形で解答しても、正解になると思います。
回答ありがとうございます😊