有限アーベル群の基本定理に関する問題ですね。問題文の書き方が若干わかりづらいですが、何を聞かれているかはわかりますか？あと確認ですけど有限アーベル群の基本定理は習いましたよね？
一応自分なりに答えを出してみたんですけどあっていますかね…？
問題の意図があまりくみとれませんでした。
特に「最小のリスト」というところと「リストには余計なものは入れず」というところがわかりませんでした。大変恐縮ですが以上の部分の主張を教えていただいてもよろしいでしょうか？
「最小のリスト」とか「余計なものは入れず」あたりはあまり気にしなくても大丈夫ですよ
「位数2³•5²•7のアーベル群はそのいずれかの群に同型となるようなリスト」と言うと、例えば出来上がったリストにC₃があったり、C₂×C₂×C₂×C₅×C₅×C₇とC₇×C₅×C₅×C₂×C₂×C₂が両方入っていても条件を満たしてしまいます。なので、余計なものは入れず、互いに同型な群は含まないリストを作ろうということです。これを一言で最小のリストと呼んでいます
群(1)
リストがちょっと足りないですね。各素因数ごとに考えるとよいと思います
2³•5²•7の素因数2,5,7について、
2 → 2³, 2²×2, 2×2×2
5 → 5², 5×5
7 → 7
のような分け方があるので、これらの組合せで全部で3×2×1=6種類の群があります。画像のリストだとC₂₅を含む群が抜けているのでそれらを加えればよいです。書かれているものについてはあっていますね
群(2)もよいと思います
(a)
位数2の元はもっとありますよ
G:=C₄×C₂×C₅×C₅×C₇を例に考えてみます
直積群H×Kの要素(h,k)の位数は、hの位数とkの位数の最小公倍数になります
よって、Gの元g:=(a,b,c,d,e)について
gの位数が2
⇔ a,b,c,d,eの位数の最小公倍数が2
⇔ c=d=e=1, a,bの位数の最小公倍数が2
(∵ c,d,eの位数は5または7のべきだから)
⇔ c=d=e=1, a,bの位数は1または2, a,bの少なくとも一つは位数2
C₄,C₂に含まれる位数2の元はそれぞれ一つずつなので、条件を満たすgの個数は
2×2×1×1×1-1=3(個)
になります
(b)
書かれている３つについてはあっていますね。リストに入る残りの３つは全て位数5²の元を含みます
(c)
これも書かれている３つはあっています
C₅₀ ≃ C₂×C₂₅
なのでC₂とC₂₅を直積因子にもつ群がC₅₀×Hと書けます
有限アーベル群の基本定理のイメージが湧きました！まだまだ群論初心者なので分かりやすい解説で助かりました。本当にありがとうございました！
いえいえ(｀・ω・´)
回答ありがとうございます。
位数を素因数分解してその因子ごとの位数を持つ一意的な直積分解ができるといったことは習いましたが具体的にどう使うかはわからないです。