Question

はん

カッコ2についてです。場合分け[2]のy軸に垂直である、の部分ってどうしてy軸なんですか？x軸に垂直である、ではダメなのでしょうか。回答お願いします。

1
③12f(x)=x(x=0)とする。
(1)f(f(x)) を求めよ。 また, y=f(f(x)) のグラフの概形をかけ。
(2) 直線y=bx+αと曲線y=f(f(x))が共有点をもたないとき,点(a,b)の存
在範囲を図示せよ。
[類 中央大] 14

EX f(x)=x(x=0) とする。
12
(1) f(f(x)) を求めよ。 また, y=f(f(x)) のグラフの概形をかけ。
1章
(2) 直線y=bx+α と曲線 y=f(f(x)) が共有点をもたないとき,点(a, b) の存在範囲を図示
せよ。
[類中央大 〕
HINT (2) 直線 y=bx+αが, 点 (1,0)を含めた(1)の曲線と共有点をもたない場合と,(10)
を通って共有点をもたない場合があることに注意。
EX
[関数]
(1)/(x)=
から x=1
1-x
1
(f(x)) =
1
1-f(x)
1
1
←
の分母分
1.
1
1-x
1-x
0 1
1
x
子に1-xを掛ける。
=-1+1 (x+1)
XC
グラフは右の図のようになる。
(2) 共有点をもたないのは,次の [1]~[3] の場合である。
1
[1] 直線 y=bx+α と曲線y=-- +1が,共有点をもたない ←点(1, 0) を含む曲線。
x
←曲線y=f(f(x)) が点
[2] 直線y=bx+αが点 (1,0) を通り, y軸に垂直である
[3] 直線 y=bx+α が点 (1, 0) において, 曲線y=--
と接する
1
+1
x
(10)を含まないことに
注意。
[1] のとき
直線と曲線は共有点をもたないから,bx+a=--
19
わちbx2+(a-1)x+1=0が実数解をもたない。
このための条件は
1
+1
+1 すな
Xx
(i) 60 のとき, 2次方程式 bx2+(a-1)x+1=0の判別式
をDとすると D<0
よって (a-1)2-4・6・1<0 すなわち (a-1)^<46
(ii) = 0 のとき
a-1=0
ゆえに
a=1
←0.x+1=0の形。
[2] のとき
0=6・1+α かつ b = 0
ゆえに a=0,6=0
←直線はx軸と一致。
-mil
[3] のとき
1
0=6・1+α から
a=-b
bx-b=--+1とすると
x
bx2-(6+1)x+1=0
60から、この2次方程式の判別式をDとすると D=0
よって
ゆえに
{-(b+1)}-4・6・1=0
(b-1)²=0
よって b=1, a=-1
[1]~[3] から, 点 (a, b) の存在範囲は
右の図の斜線部分(境界線上の点を含ま
ない),および点(-1, 1), (0,0),
(1,0)
←直線y=bx+αが点
(10)を通る。
[検討 有理数に対して
(x)'=px-1であること
(本冊 p.110 基本事項 6
参照)を使うと, 解答の
より
[3] の場合 y=-
点 (1,0) における接線
-101
a
の方程式は y=x-1で
1
b=(a-1)²
4
あるから a=-1,6=1

Answer 1

ものぐさ

正確にはy軸に垂直である場合とx軸に垂直である場合の両方を考えないといけません。
ただx軸に垂直である直線はx= の形になるので
y=bx+aの形であらわせません。だからそもそも表記して無いのだと思います。

はん

a=-1の時x=1で条件を満たすように見えるのですがダメなんですか

ものぐさ

y=bx+aのa,bに何を入れたらx=1になるのでしょうか？
a=-1をいれてもy=bx-1になるだけです。