Question

真鈴

任意の自然数nに対してlim_{x→∞} x^n/e^xが0になることはイメージとしては分かるのですが、厳密に証明ができません。どのように証明できますか。

Answer 1

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希

x→∞なので、x≧0とできます。そして、任意の自然数nに対して、
x^n/e^x ≦ (n+1)!/x
が成り立ちます(この証明は簡単)。
x≧0より0 ≦ x^n/e^xなので、
0 ≦ x^n/e^x ≦ (n+1)!/x
となります。x→∞のとき(n+1)!/x→0なので、はさみうちの原理より、
x^n/e^x → 0
が得られます。