Question

波瑠

数学的帰納法の問題です。n＝1とおいてa1を出すところまでは出来たのですが、n＝kの時ではなくn＜＝kの時を考えるところが説明を読んでもよくわからないので解説お願いします。

数列{an} (ただしα > 0) について, 関係式
(a1+a2+....+an)=a+a2+......+an
が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。
3
指針 自然数nの問題であるから,数学的帰納法で証明する。
「n=kのときan=nが成り立つ」と仮定した場合, ak-1=k-1, ak-2=k-2,
が
成り立つことを仮定していないこととなり, n=k+1のときについての次の等式 人が
作れなくなってしまう。
(1+2+......+k+ax+1)=1+2++k+αk+13
A
したがって,n≦kの仮定が必要となる。 そこで,次の [1] [2] を示す数学的帰納法
を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1のとき成り立つ。
[2] n≦kのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。
CHART
数学的帰納法 n≦kで成立を仮定する場合あり
[1] n=1のとき,関係式から a2=0.3
解答
よって
a2(a1-1)=0
α > 0から
ゆえに, n=1のとき a =nは成り立つ。
<n=1のときの証明。
a=1
[2]n≦kのとき an=nが成り立つと仮定する。
n=k+1のときについて, 関係式から
3
{(1+2+......+k)+αk+1}=1+2°+....+k+ak+1 ... ①
(①の左辺) = (1+2+... +k)+2(1+2+... +k) ak+1+ak+12
²
={/12k(k+1) +2.1/2k(k+1)ax+x+ax+2
=13+23+......++k (k+1)ak+1+ak+12
①の右辺と比較して
ゆえに
k(k+1)ak+1+ak+12=ak+13
ak+1 (ak+1+k){ak+1-(k+1)}=0
ak+1>0であるから ak+1=k+1
n≦kの仮定。
<n=k+1のときの
証明。
<a=1, a2=2,
ak=k
{ak+12-ak+1
-k(k+1)}
=0
よって, n=k+1のときにも an=nは成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nに対して α = n は成り立つ。
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フラッグ

帰納法の別バージョンです。
それの原理については、なるべく丁寧に説明しましたが、
問題の解説は、チャート式と大して変わらないものになってしまいました。分かりにくいと思います。
質問等は遠慮なくどうぞ。

波瑠

原理と問題の解説両方ともありがとうございます。なんとなく原理は理解できました。
追加質問失礼します🙇‍♀️ 普通のn＝1，n=kで証明するときと、この問題のようにn=１，n＜＝kのように特殊な形で証明するときの見分け方ってありますか…？この問題のように証明する式が総和の場合の時とかに使うのでしょうか、？

フラッグ

見分け方、というと数学的帰納法にはもう一つバージョンがあって、基本的には３つのうちどれを使うかを判別しなければならないのですが…。それを含めてお話ししてよろしいでしょうか？できれば、そのもう一つのパターンを、簡単な(？)例題で説明したいですm(_ _)m

フラッグ

お忙しければ、後日リクエストして頂いてもいいですよ〜

波瑠

３つもパターンがあるのですね！初めて知りました。
フラッグさんのお時間のあるときに、もう一つのパターンも教えていただけると幸いです🙇‍♀️

フラッグ

今日はちょっと不都合なので、明日にもお返事します。
お手元のチャート式に、例題があるかもなので、余裕があれば探してみて下さってもいいです。

フラッグ

昨日の続きです。説明の順序がチグハグですがご容赦ください。分からないところは訊いてください。

波瑠

本当にありがとうございます。見分け方のコツわかりました。気をつけるコツなども含めて教えてくださりありがとうございます！