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k

この問題の解説についてなんですが、「どの範囲に何個解を持つ」などと書いてあるあたりがさっぱりわからなくて、考え方含め、この問題における解の範囲設定について数学嫌いにもわかるようにどなたかご説明いただきたいです。お願いします🙇

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20 第3章 三角関数
研究例題 52 三角方程式の解の個数
0502のとき, 方程式 cos20-2sin0+a=0を満たすの値が2個入
なるような定数αの値の範囲を求めよ。
2倍角の公式を用いて, sin0=t とおくと, tについての2次方程式になる。
ただし、の値のそれぞれについて、対応する8の値は,
-1<<1のとき、0502/27 または
<<2>
(±1のとき、0-1727 12/23 のそれぞれ1個
であることに注意する。
cos201-2sin' より 与式は
1-2sin 0-2sino+a=0
これより、
a=2sin 0+2sin 0-1 ...... ①
ここで, sind=t とおくと, 002 より, -1≧tlである。
①は, a=2+21-1=2(1+2)-2727
変形できる。
...... 2
①を満たすの値が2個となるのは②がt=1とt= -1 を同時に解にもって
ことはないから -1<t<1 の範囲に重解をもつか, -1<t <1 の範囲に1つの
y=a が 共有点をただ1つもち, それが-1<t<1 の範
囲にあるようなαの値の範囲を求める。
解をt<-1.1<t の範囲にもう1つの解をもつときである。
すなわち、放物線y=2(1+1/22-12/23 (-1≦t≦1) と直線
y=2t+
34
3
y=s
右の図より, a=-
のときも題意を満たすことに注意
して, a=-23-1<a<3
31
積を
和
注
右上のグラフにおいて,-1<a<3 のとき, 直線 y=a
と放物線y=2(1+1/22-12/3(-1≦t≦1)との共有点は
1個である。 そのとき,tの値に対して, 右のt=sin0
のグラフより、日の値は2個あることがわかる。
3
同様に考えると,①を満たすの値の個数は,a <- 23,
3<a のとき0個, α=3 のとき1個, α=-1 のとき3個,
335
2
<a<-1のとき4個となる。
2
3-2
2
2個
t=sin

Answer 1

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て×て

言葉で説明するのはとても難しいですが写真を見て考えて見てほしいです。

写真の解説をしておくと、この問題はf(t)をグラフにして、そこにy=aという横棒を上から下に下ろした時にaがどの値の時θがちょうど2個出てくるかを探してます。ここで注意するのはf(t)とy=aの交点の個数はθの個数と異なることです。
いきなりθの個数を求めるのは難しいため僕はグラフの真下に単位円を書いてf(t)とy=aとの交点から真下に線を引っ張って真下の単位円との交点がθの数としてカウントしています。

因みに、なぜf(t)とy=aの交点の個数はシータの個数と異なるかと言うと、t=sinθとしている時tの値によってはθは1個に定まらないからです。

例えばt=1/2の時θ=π/6、5π/6とt1個に対して2このθが出てきます。

k

ありがとうございます！助かります